2012安徽卷高考数学(理数)答案解析

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。参考公式：如果事件A与B互斥；则()()()PABPAPB如果事件A与B相互独立；则()()()PABPAPB如果A与B是事件，且()0PB；则()()()PABPABPB第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数z满足：()(2)5zii；则z（）()A22i()B22i()Ci()Di【解析】选D55(2)()(2)5222(2)(2)iziiziziiiii（2）下列函数中，不满足：(2)2()fxfx的是（）()A()fxx()B()fxxx()C()fxx()D()fxx【解析】选C()fxkx与()fxkx均满足：(2)2()fxfx得：,,ABD满足条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）()A3()B4()C()D【解析】选Bx1248y12344.公比为32等比数列{}na的各项都是正数，且31116aa，则（）()A4()B5()C()D【解析】选B29311771672161616432log5aaaaaaqa5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数()B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数()C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差()D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】选C11(45678)6,(5369)655xx乙甲甲的成绩的方差为221(2212)25，乙的成绩的方差为221(1331)2.45（6）设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm则“”是“ab”的（）()A充分不必要条件()B必要不充分条件()C充要条件()D即不充分不必要条件【解析】选A①,bmbba②如果//am；则ab与bm条件相同（7）2521(2)(1)xx的展开式的常数项是（）()A3()B2()C()D21世纪教育网【解析】选D第一个因式取2x，第二个因式取21x得：1451(1)5C第一个因式取2，第二个因式取5(1)得：52(1)2展开式的常数项是5(2)3（8）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)OP，将向量OP按逆时针旋转34后，得向量OQ则点Q的坐标是（）()A(72,2)()B(72,2)()C(46,2)()D(46,2)【解析】选A【方法一】设34(10cos,10sin)cos,sin55OP则33(10cos(),10sin())(72,2)44OQ【方法二】将向量(6,8)OP按逆时针旋转32后得(8,6)OM则1()(72,2)2OQOPOM（9）过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于,AB两点，点O是原点，若3AF；则AOB的面积为（）()A22()B2()C322()D22【解析】选C21世纪教育网设(0)AFx及BFm；则点A到准线:1lx的距离为3得：1323coscos3又232cos()1cos2mmm21世纪教育网AOB的面积为1132232sin1(3)22232SOFAB（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）()A1或3()B1或4()C2或3()D2或4【解析】选D261315132C①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人第II卷（非选择题共100分）21世纪教育网考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）若,xy满足约束条件：02323xxyxy；则xy的取值范围为_____【解析】xy的取值范围为_____[3,0]约束条件对应ABC边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2ABC则[3,0]txy（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____【解析】表面积是_____92该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱几何体的表面积是2212(25)4(2544(52))4922S（13）在极坐标系中，圆4sin的圆心到直线()6R的距离是_____【解析】距离是_____3圆224sin(2)4xy的圆心(0,2)C直线:()306lRxy；点C到直线l的距离是02332（14）若平面向量,ab满足：23ab；则ab的最小值是_____【解析】ab的最小值是_____9822222349494449448ababababababababab（15）设ABC的内角,,ABC所对的边为,,abc；则下列命题正确的是_____①若2abc；则3C②若2abc；则3C③若333abc；则2C④若()2abcab；则2C⑤若22222()2abcab；则3C【解析】正确的是_____①②③①222221cos2223abcabababcCCabab②2222224()()12cos2823abcabababcCCabab③当2C时，22232233cabcacbcab与333abc矛盾④取2,1abc满足()2abcab得：2C⑤取2,1abc满足22222()2abcab得：3C三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.（16）(本小题满分12分)设函数22()cos(2)sin24fxxx（I）求函数()fx的最小正周期；（II）设函数()gx对任意xR，有()()2gxgx，且当[0,]2x时，1()()2gxfx；求函数()gx在[,0]上的解析式。【解析】22111()cos(2)sincos2sin2(1cos2)24222fxxxxxx11sin222x（I）函数()fx的最小正周期22T（2）当[0,]2x时，11()()sin222gxfxx当[,0]2x时，()[0,]22x11()()sin2()sin22222gxgxxx当[,)2x时，()[0,)2x11()()sin2()sin222gxgxxx得：函数()gx在[,0]上的解析式为1sin2(0)22()1sin2()22xxgxxx（17）（本小题满分12分）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有nm道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量。（Ⅰ）求2Xn的概率；（Ⅱ）设mn，求X的分布列和均值（数学期望）。【解析】（I）2Xn表示两次调题均为A类型试题，概率为12nnmnmn（Ⅱ）mn时，每次调用的是A类型试题的概率为12p随机变量X可取,1,2nnn21()(1)4PXnp，1(1)2(1)2PXnpp，21(2)4PXnpXn1n2nP141214111(1)(2)1424EXnnnn答：（Ⅰ）2Xn的概率为12nnmnmn（Ⅱ）求X的均值为1n（18）（本小题满分12分）平面图形111ABBACC如图4所示，其中11BBCC是矩形，12,4BCBB，2ABAC，11115ABAC。现将该平面图形分别沿BC和11BC折叠，使ABC与111ABC所在平面都与平面11BBCC垂直，再分别连接111,,AABACA,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。。（Ⅰ）证明：1AABC；（Ⅱ）求1AA的长；（Ⅲ）求二面角1ABCA的余弦值。【解析】（I）取11,BCBC的中点为点1,OO，连接1111,,,AOOOAOAO则ABACAOBC，面ABC面11BBCCAO面11BBCC同理：11AO面11BBCC得：1111//,,,AOAOAOAO共面又11,OOBCOOAOOBC面111AOOAAABC（Ⅱ）延长11AO到D，使1ODOA得：11////ODOAADOO1OOBC，面111ABC面11BBCC1OO面111ABCAD面111ABC222214(21)5AAADDA（Ⅲ）11,AOBCAOBCAOA是二面角1ABCA的平面角在11RtOOA中，222211114225AOOOAO在1RtOAA中，22211115cos25AOAOAAAOAAOAO得：二面角1ABCA的余弦值为55。（19）（本小题满分13分）设1()(0)xxfxaebaae（I）求()fx在[0,)上的最小值；（II）设曲线()yfx在点(2,(2))f的切线方程为32yx；求,ab的值。【解析】（I）设(1)xtet；则2222111atyatbyaatatat①当1a时，0y1yatbat在1t上是增函数得：当1(0)tx时，()fx的最小值为1aba②当01a时，12yatbbat当且仅当11(,ln)xattexaa时，()fx的最小值为2b（II）11()()xxxxfxaebfxaeaeae由题意得：2222212(2)333131(2)222faebaaeefaebae（20）（本小题满分13分）如图，12(,0),(,0)FcFc分别是椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右焦点，过点1F作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，过点2F作直线2PF的垂线交直线2axc于点Q；（I）若点Q的坐标为(4,4)；求椭圆C的方程；（II）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点。【解析】（I）点11(,)(0)Pcyy代入22221xyab得：21bya21204014baPFQFccc①又24ac②222(,,0)cababc③由①②③得：2,1,3acb既椭圆C的方程为22143xy（II）设22(,)aQyc；则2212220012byaPFQFyaacccc得：222PQbacakaacc222222222222221bxxybaybxyababbxa过点P与椭圆C相切的直线斜率xcPQckyka得：直线PQ与椭圆C只有一个交点。（21）（本小题满分13分）数列{}nx满足：2*110,()nnnxxxxcnN（I）证明：数列{}nx是单调递减数列的充分必要条件是0c（II）求c的取值范围，使数列{}nx是单调递增数列。【解析】（I）必要条件当0c时，21nnnnxxxcx数列{}nx是单调递减数列充分条件数列{}nx是单调递减数列22121110xxxxccx得：数列{}nx是单调递减数列的充分必要条件是0c（II）由（I）得：0C①当0c时，10naa，不合题意②当0c时，22132,201xcxxccxcc2211010nnnnnxxcxxcxxc22211111()()()(1)nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx当14c时，1211102nnnnnxcxxxx与1nnxx同号，由212100nnnnxxcxxxx21limlim()limnnnnnnnxxxcxc当14c时，存在N，使121112NNNNNxxxxx与1NNxx异号与数列{}nx是单调递减数列矛盾得：当104c时，数列{}nx是单调递增数列