2015高三数学《文科》二轮复习《专题2三角函数、解三角形、平面向量》PPT版

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第5讲　三角函数的图像与性质　第6讲三角恒等变换与解三角形第7讲平面向量专题二　三角函数、解三角形、平专题二　三角函数、解三角形、平面向量面向量第第55讲　三角函数的图像与性讲　三角函数的图像与性质质返回目录核心知识聚焦考点考向探究第5讲　三角函数的图像与性质体验高考体验高考返回目录1．[2013·广东卷改编]已知sin5π2＋α＝15，那么cosα①＝________．[答案]15[解析]sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝15.⇒任意角的三角函数关键词：定义、单位圆、诱导公式如①、象限角．主干知识主干知识核心知识聚焦第5讲　三角函数的图像与性质体验高考体验高考　　返回目录2．[2013·全国卷改编]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα②＝________．[答案]－1213⇒同角三角函数关系关键词：平方关系如②、商数关系．主干知识主干知识[解析]cosα＝－1－sin2α＝－1213.核心知识聚焦第5讲　三角函数的图像与性质体验高考体验高考　　返回目录3．[2014·浙江卷改编]为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝2cos3x的图像向平行移动③________个单位长度．[答案]右π12[解析]y＝sin3x＋cos3x＝2cos3x－π4＝2cos3x－π12，故将函数y＝2cos3x的图像向右平移π12个单位可以得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像．⇒三角函数的图像关键词：图像特征如④、图像变换如③.主干知识主干知识　　核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录[解析]将x＝π3分别代入两个函数，得到sin2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2kπ(k∈Z)或23π＋φ＝5π6＋2kπ(k∈Z)，化简解得φ＝－π2＋2kπ(k∈Z)或φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.4．[2014·江苏卷]已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点④，则φ的值是________．[答案]π6第5讲　三角函数的图像与性质核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录5．[2014·陕西卷改编]函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期⑤是________．[答案]π[解析]T＝2π2＝π.⇒三角函数的性质关键词：单调性如⑥、对称性、周期性如⑤、最值、奇偶性．主干知识主干知识第5讲　三角函数的图像与性质核心知识聚焦体验高考体验高考返回目录6．[2014·四川卷改编]函数f(x)＝sin3x＋π4的单调递增区间⑥为________．[答案]－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z[解析]由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.第5讲　三角函数的图像与性质核心知识聚焦返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　知识必备三角函数定义任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx同角三角函数关系sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα基本问题诱导公式360°±α，180°±α，－α，90°±α，270°±α，“奇变偶不变，符号看象限”值域周期单调区间奇偶性对称中心对称轴三角函数三角函数的性质与图像y＝sinx(x∈R)[－1，1]2kπ，k∈Z增区间－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z；减区间π2＋2kπ，3π2＋2kπ，k∈Z奇函数(kπ，0)，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Z第5讲　三角函数的图像与性质返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　y＝cosx(x∈R)[－1，1]2kπk∈Z增区间－π＋2kπ，2kπ，k∈Z；减区间2kπ，2kπ＋π，k∈Z偶函数kπ＋π2，0k∈Zx＝kπk∈Z三角函数的性质与图像y＝tanxx≠kπ＋π2，k∈ZRkπk∈Z增区间－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z奇函数kπ2，0k∈Z无上下平移y＝f(x)的图像平移|k|得y＝f(x)＋k的图像，k＞0向上平移，k＜0向下平移平移变换左右平移y＝f(x)的图像平移|φ|得y＝f(x＋φ)的图像，φ＞0向左平移，φ＜0向右平移x轴方向y＝f(x)的图像上各点横坐标变为原来的ω倍得y＝f1ωx的图像伸缩变换y轴方向y＝f(x)的图像上各点纵坐标变为原来的A倍得y＝Af(x)的图像中心对称y＝f(x)的图像关于点(a，b)对称的图像的解析式是y＝2b－f(2a－x)三角函数图像变换对称变换轴对称y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称的图像的解析式是y＝f(2a－x)第5讲　三角函数的图像与性质返回目录►考点一三角函数的化简与求值三角函数的概念——1.三角函数的概念；2.概念的应用同角三角函数基——1.由一函数值求其他函数值；2.确定本关系式角的范围诱导公式——1.化简；2.符号判断；3.求三角函数值；4，求角题型：选择，填空分值：5分难度：基础热点：求值第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录例1(1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－255，则y＝________．(2)若sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sin(θ－5π)sin3π2－θ＝________．[答案](1)－8(2)310第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录[解析](1)由题意可知，点P到原点的距离r＝16＋y2.因为sinθ＝－255，所以y16＋y2＝－255，解得y＝－8.(2)由sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2得tanθ＝3，所以sin(θ－5π)sin3π2－θ＝sin(π－θ)sinπ2－θ＝sinθcosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθ1＋tan2θ＝310.第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录[小结]三角函数的定义是求三角函数值的基础，同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角函数的化简与计算的过程中起着重要的作用，解题时不仅要合理选取公式，还要注意角的范围．第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　　返回目录变式题(1)已知2sinx－cosx＝102，x∈0，π2，则tanx＝________．(2)若sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝12，则sin2x＝________．[答案](1)3(2)－34第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　　返回目录[解析](1)由2sinx－cosx＝102得cosx＝2sinx－102，将其代入sin2x＋cos2x＝1得5sin2x－210sinx＋64＝0，结合x∈0，π2，解得sinx＝31010，cosx＝1010，所以tanx＝3.(2)sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sinx－cosx＝12，∴cosx＋sinx＝－12，平方得1＋sin2x＝14，∴sin2x＝－34.第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录►考点二三角函数的图像图像——1.图像的判断；2.图像的变换解析式——1.根据图像求解析式中的参数；2.根据图像变换求解析式题型：选择，填空分值：5分难度：中等热点：图像与解析式第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录例2(1)将函数f(x)＝sin2x＋π6的图像向右平移π6个单位长度，所得图像的一条对称轴是()A．x＝π6B．x＝π4C．x＝π3D．x＝π2(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图51所示，则函数y＝f(x)的解析式为()第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录图51A．f(x)＝sinx＋π6B．f(x)＝sinx＋π3C．f(x)＝sin2x－π3D．f(x)＝sin2x＋π6[答案](1)C(2)D第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录[解析](1)将函数f(x)的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6的图像，当x＝π3时，f(x)取最大值1，故一条对称轴是x＝π3.(2)由图像知，A＝1，34T＝1112π－π6＝34π，即T＝π，所以ω＝2πT＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又f(x)的图像过点π6，1，∴1＝sinπ3＋φ，解得φ＝2kπ＋π6，k∈Z，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，故f(x)的解析式为f(x)＝sin2x＋π6.第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录[小结]根据三角函数图像求函数的解析式，主要考虑两点：一是根据函数图像得出函数的最小正周期，求出ω的值；二是根据函数图像上特殊点的坐标，得出三角函数的关系式，求出φ值．第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录变式题(1)若f(x)＝tan(2x＋φ)的图像过点π6，1，则f2π3＝()A．－1B．0C．2D．1(2)已知直线x＝5π12和点π6，0恰好是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像上相邻的对称轴和对称中心，则函数f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝2sin2x－π6B．f(x)＝2sin2x－π3C．f(x)＝2sin4x＋π3D．f(x)＝2sin4x＋π6第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录[解析](1)由已知得，tanπ3＋φ＝1，所以f2π3＝tan2×23π＋φ＝tanπ＋π3＋φ＝tanπ3＋φ＝1.(2)由题意可知14T＝512π－π6＝π4，所以T＝π，所以ω＝2πT＝2，又该函数图像过点π6，0，于是有2sin2×π6＋φ＝0，解得φ＝－π3＋kπ(k∈Z)，故选B.[答案](1)D(2)B第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录►考点三三角函数的性质性质——1.单调性；2.对称性；2.奇偶性；3.周期性；4.最值题型：选择，填空，解答分值：5－10分难度：中等热点：单调性、周期性与最值例3(1)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，φ∈(0，2π]，其中f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ20②，因为φ∈(0，2π]，由①②可得φ＝π6，所以f(x)＝sin2x＋π6.第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)，故f(x)的增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．(2)函数y＝cos|2x|＝cos2x，其最小正周期为π，①正确；函数y＝cosx位于x轴上方的图像不变，将位于x轴下方的图像对称地翻转至x轴上方，即可得到y＝|cosx|的图像，所以其最小正周期也为π，②正确；函数y＝cos2x＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan2x－π4的最小正周期为π2，④不正确．第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录[小结]三角函数的性质主要是单调性、周期性和奇偶性，要明白以下两点：一是涉及函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质时，一般利用函数y＝sinx的性质，即把ωx＋φ看成一个整体x处理，但是一定要ω>0，否则易出错；二是一定要结合图像分析处理．第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录变式题(1)已知函数f(x)＝sin（x＋π）cos（π－x），则下列结论中正确的是()A．f(x)的最小正周期是2πB．f(x)在区间[4，5]上单调递增C．f(x)的图像关于直线x＝π2对称D．f(x)的图像关于点3π2，0对称第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录(2)设函数f(x)＝3sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)|φ|<π2，且其图像关于直线x＝0对称，则()A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在区间0，π2上为增函数B．y＝f(x)的最小正周期为π2，且在区间0，π4上为增函数C．y＝f(x)的最小正周期为π，且在区间0，π2上为减函数D．y＝f(x)的最小正周期为π2，且在区间0，π4上为减函数第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录[解析](1)f(x)＝sin（x＋π）cos（π－x）＝－sinx－cosx＝tanx，故选D.(2)f(x)＝3sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin2x＋φ＋π6.∵其函数图像关于直线x＝0对称，∴函数f(x)为偶函数，又|φ|＜π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝2cos2x，故选C.[答案](1)D(2)C第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录►考点四三角函数图像与性质的综合应用图像与性质——1.根据图像得性质；2.根据图像与性质求解析式；3.求角；4.求最值题型：选择，填空，解答分值：5－10分难度：中等热点：图像与性质的综合例4函数f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3ω>0在一个周期内的图像如图52所示，A为图像的最高点，B，C为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求函数fx的解析式；(2)求函数fx的单调递增区间和对称中心．图52第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录解：(1)fx＝3cosωx＋3sinωx＝23sinωx＋π3.又△ABC为正三角形，且高为23，则BC＝4.所以函数f(x)的最小正周期为8，即2πω＝8，ω＝π4，故f(x)＝23sinπ4x＋π3.(2)由2kπ－π2≤π4x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z,得8k－103≤x≤8k＋23，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为8k－103，8k＋23，k∈Z.由π4x＋π3＝kπ，k∈Z，得x＝4k－43，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为4k－43，0，k∈Z.第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录[小结]三角函数的综合应用常表现为依据解析式y＝Asin(ωx＋φ)，研究该函数的周期、单调区间及最值等．第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录变式题如图53所示，点P0，A2是函数y＝Asin2π3x＋φ(其中A＞0，φ∈[0，π))的图像与y轴的交点，点Q，点R是它与x轴的两个交点．图53(1)求φ的值；(2)若PQ⊥PR，求A的值．第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录解：(1)∵函数图像经过点P0，A2，∴sinφ＝12.又∵φ∈[0，π)，且点P在递增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y＝Asin2π3x＋π6.令y＝0，得Asin2π3x＋π6＝0，∴2π3x＋π6＝kπ，k∈Z，解得x＝32k－14，k∈Z.又由图像可知，xR－xQ＝32，且xR＞0，xQ＜0，∴xR＝54，xQ＝－14，第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究　返回目录∴Q－14，0，R54，0，∵P0，A2，∴PQ→＝－14，－A2，PR→＝54，－A2，∵PQ⊥PR，∴PQ→·PR→＝－516＋14A2＝0，又A＞0，解得A＝52.第5讲　三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录例1.[配例1使用]已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的最大值为()A.2B.32C．1D.12[备选理由]例1灵活考查三角函数的定义，定义与三角函数性质充分结合；例2综合考查对三角函数图像的认识以及图像变换；例3综合考查三角函数的周期性、对称性、单调性；例4涉及三角函数的图像与性质、正余弦定理、解三角形，是一道综合性试题．————教师备用例题教师备用例题————　　第5讲　三角函数的图像与性质返回目录[解析]设∠xOA＝α，根据三角函数定义xA＝cosα，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cosα－sin(α＋30°)＝－32sinα＋12cosα＝sin(α＋150°)，故其最大值为1.[答案]C第5讲　三角函数的图像与性质返回目录例2.[配例2使用]如图为函数y＝sin(ωx＋φ)ω＞0，0＜φ＜π2在区间－π6，5π6上的图像，将该图像向右平移m(m>0)个单位长度后，所得图像关于直线x＝π4对称，则m的最小值为()A.π12B.π6C.π4D.π3第5讲　三角函数的图像与性质返回目录[解析]由题意可知，函数y＝sin(ωx＋φ)的解析式为y＝sin2x＋π6，该函数图像向右平移m个单位长度后得到的图像解析式为y＝sin2x－m＋π6.如果该函数的图像关于直线x＝π4对称，则2π4－m＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，所以m＝π6－k2π(k∈Z)．又m＞0，故当k＝0时，m最小，此时m＝π6.[答案]B第5讲　三角函数的图像与性质返回目录例3.[配例3使用]同时具有性质：①最小正周期是π，②图像关于直线x＝π3对称，③在区间－π6，π3上是增函数的一个函数是()A．y＝sinx2＋π6B．y＝sin2x－π6C．y＝cos2x＋π3D．y＝sin2x＋π6第5讲　三角函数的图像与性质返回目录[解析]函数y＝sinx2＋π6的最小周期为4π，故A错；函数y＝cos2x＋π3的递增区间为kπ＋π3，kπ＋5π6(k∈Z)，故C错；当x＝π3时，函数y＝sin2x＋π6的值为12，即x＝π3不是其对称轴，故D错．[答案]B第5讲　三角函数的图像与性质返回目录例4.[配例4使用]将函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图像向右平移π4个单位长度后得到g(x)的图像．已知函数g(x)的部分图像如图所示，该图像与y轴相交于点F(0，1)，与x轴相交于点P，Q，点M为最高点，且△MPQ的面积为π2.(1)求函数g(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且g(A)＝1，a＝5，求△ABC面积的最大值．第5讲　三角函数的图像与性质返回目录解：(1)由题意可知，g(x)＝2sinωx－π4＋φ.由于S△MPQ＝12×2·|PQ|＝π2，则|PQ|＝T2＝π2，∴T＝π，即ω＝2.又g(0)＝2sinφ－π2＝1，且－π2<φ－π2<π2，∴φ－π2＝π6，∴φ＝2π3，即g(x)＝2sin2x－π4＋2π3＝2sin2x＋π6.(2)∵g(A)＝2sin2A＋π6＝1，2A＋π6∈π6，13π6，∴2A＋π6＝5π6，∴A＝π3.由a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝5，A＝π3，得5＝b2＋c2－bc，即bc≤5，当且仅当b＝c＝5时，等号成立，∴S△ABC＝12bcsinA≤534，故S△ABC的最大值为534.第5讲　三角函数的图像与性质第第66讲　三角恒等变换与解三讲　三角恒等变换与解三角形角形返回目录核心知识聚焦考点考向探究第6讲　三角恒等变换与解三角形体验高考体验高考返回目录1.[2014·新课标全国卷Ⅱ]函数f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx①的最大值为________．[答案]1[解析]f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ＋cosxsinφ－2sinφcosx＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)≤1.⇒两角和(差)公式关键词：sin(α±β)如①、cos(α±β)、tan(α±β)．主干知识主干知识核心知识聚焦第6讲　三角恒等变换与解三角形体验高考体验高考　　返回目录2.[2013·江西卷改编]若sinα2＝33，则cosα②＝________．[答案]13⇒二倍角公式关键词：sin2α如③、cos2α如②、tan2α.主干知识主干知识[解析]cosα＝1－2sin2α2＝13.核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录核心知识聚焦3．[2014·新课标全国卷Ⅰ改编]若tanα＞0，则sin2α③_______0.(填“>”或“<”)[答案]>[解析]sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α>0.第6讲　三角恒等变换与解三角形核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录[解析]由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c＝2.4．[2014·北京卷改编]在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝14，则c＝④________．[答案]2主干知识主干知识⇒解三角形关键词：正弦定理如⑤、余弦定理如④、解三角形，解三角形的实际应用如⑥.第6讲　三角恒等变换与解三角形核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录5．[2013·湖南卷改编]在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A⑤等于________．[答案]π3[解析]由正弦定理可得2sinAsinB＝3sinB．又sinB≠0，所以sinA＝32.因为A为锐角，故A＝π3.第6讲　三角恒等变换与解三角形核心知识聚焦体验高考体验高考返回目录6．[2014·四川卷改编]如图61所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC⑥等于________．图61第6讲　三角恒等变换与解三角形核心知识聚焦返回目录[答案]120(3－1)m[解析]由题意可知，AC＝60sin30°＝120.∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24.在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC＝BC∠BAC，于是BC＝120×222＋64＝24022＋6＝120(3－1)(m)．第6讲　三角恒等变换与解三角形核心知识聚焦返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　知识必备三角恒等变换、解三角形和差角公式倍角公式正弦sin(α±β)＝sinacosβ±cosαsinβsin2α＝2sinαcosα余弦cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α变换公式正切tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβtan2α＝2tanα1－tan2αsin2α＝2tanα1＋tan2αcos2α＝1－tan2α1＋tan2αsin2α＝1－cos2α2cos2α＝1＋cos2α2定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半经)变形a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)三角恒等变换正弦定理类型三角形两边和一边对角、三角形两角与一边射影定理：a＝bcosC＋ccosBb＝acosC＋ccosAc＝acosB＋bcosA第6讲　三角恒等变换与解三角形返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC变形cosA＝b2＋c2－a22ab＝（b＋c）2－a22bc－1等余弦定理类型两边及一角(一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程)、三边基本公式S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB(ha，hb，hc分别为边BC，AC，AB上的高)面积公式导出公式S＝abc4R(R为三角形外接圆半径)；S＝12(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆半径)基本思想把要求解的量归入到可解三角形中．在实际问题中，往往涉及多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中即可仰角视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角俯角视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角方向角方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般是锐角，如北偏西30°)解三角形实际应用常用术语方位角从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角第6讲　三角恒等变换与解三角形返回目录►考点一三角恒等变换两角和与——1.求角；2.求函数值；3.求角的范围差的公式二倍角——1.由α求2α的问题；2.由2α求α的问题；3.范围公式问题题型：选择，填空，解答分值：5－10分难度：基础热点：两角和(差)的基本公式的应用，二倍角公式第6讲　三角恒等变换与解三角形考点考向探究返回目录例1[2014·江苏卷]已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos5π6－2α的值．解：(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.故sinπ4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×－255＋22×55＝－1010.第6讲　三角恒等变换与解三角形考点考向探究返回目录(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310.[小结]本题给出的是角α的正弦值，要求由α与特殊角构成的复角的三角函数值和由α的倍角与特殊角构成的复角的三角函数值，最关键的是先求出角α的余弦值，再结合两角和差、二倍角公式求解．在使用平方关系求角α余弦值时一定要注意角α的范围．第6讲　三角恒等变换与解三角形考点考向探究　　返回目录变式题(1)已知cosα－π6＋sinα＝453，则sinα＋π6的值是()A．45B．－45C．4315D．－4315(2)在△ABC中，若3cos2A－B2＋5sin2A＋B2＝4，则tanAtanB＝()A．4B．14C．－4D．－14[答案](1)A(2)B第6讲　三角恒等变换与解三角形考点考向探究　　返回目录[解析](1)cosα－π6＋sinα＝cosαcosπ6＋sinαsinπ6＋sinα＝32sinα＋32cosα＝3sinα＋π6＝453，所以sinα＋π6＝45.(2)因为3cos2A－B2＋5sin2A＋B2＝3·1＋cos（A－B）2＋5·1－cos（A＋B）2＝4＋32(cosAcosB＋sinAsinB)－52(cosAcosB－sinAsinB)＝4，所以4sinAsinB＝cosAcosB，所以tanAtanB＝14.第6讲　三角恒等变换与解三角形考点考向探究返回目录►考点二正、余弦定理在解三角形中的应用正、余弦——1.求三角形中的角；2.求三角形中的边；定理3.与面积有关的问题；4.边与角的范围问题题型：选择，填空，解答分值：5－10分难度：中等热点：求解三角形中的角与边►考向一求解三角形中的角例2[2014·天津卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝66b，sinB＝6sinC.(1)求cosA的值；(2)求cos2A－π6的值．第6讲　三角恒等变换与解三角形考点考向探究返回目录解：(1)在△ABC中，由bsinB＝csinC，及sinB＝6sinC，可得b＝6c.又由a－c＝66b，有a＝2c.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.(2)在△ABC中，由cosA＝64，可得sinA＝104.于是cos2A＝2cos2A－1＝－14，sin2A＝2sinAcosA＝154.所以cos2A－π6＝cos2Acosπ6＋sin2Asinπ6＝15－38.第6讲　三角恒等变换与解三角形考点考向探究　返回目录[小结]本题条件中，可看作是关于三边的两个关系式，相当于由三边求角，所以选用余弦定理．余弦定理求角的特点表现为可不知三边的具体值，但只要知道三边间的关系即可．第6讲　三角恒等变换与解三角形考点考向探究　返回目录变式题在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos2A＋2sin2(π＋B)＋2cos2π2＋C－1＝2sinBsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝4，c＝5，求sinB的值．解：(1)∵cos2A＋2sin2(π＋B)＋2cos2π2＋C－1＝2sinBsinC，∴sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.∵00，使得向量c与向量d垂直B．存在λ>0，使得向量c与向量d的夹角为60°C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹的角为30°D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线第7讲　平面向量返回目录[答案]D[解析]由图知，d＝(5，5)－(1，2)＝(4，3),c＝a＋λb＝(1,λ)．若向量c与向量d垂直，则有4＋3λ＝0，解得λ＝－43<0，故A不正确；若向量c与向量d的夹角为60°，则有4＋3λ51＋λ2＝cos60°，即11λ2＋96λ＋39＝0，方程有两个负根，故B不正确；若向量c与向量d的夹角为30°，则有4＋3λ51＋λ2＝cos30°，即39λ2－96λ＋11＝0，该方程有两个正根，故C不正确；若向量c与向量d共线，则有4λ－3＝0，解得λ＝34＞0，故D正确．第7讲　平面向量