2016年天津市高考压轴卷(文科)数学试题+试卷答案

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2016天津市高考压轴卷文科数学一、选择题(每小题5分,共40分)1.若复数iia213（a∈R,i是虚数单位）是纯虚数，则a的值为()A.6B.-6C.23D.232.命题“若4，则tan1”的逆否命题是（　　）A．若4，则tan1B．若4，则tan1C．若tan1，则4D．若tan1，则43.将)63cos(2xy图像按向量)2,4(a平移，则平移后所得函数的周期及图象的一个对称中心分别为（）A.3，2,4B.6，2,43C.6，2,43D.3，2,44.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．2865B．3065C．56125D．601255.设不等式组0202xy表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点[来源:学+科+网]的距离大于2的概率是（）A．4B．22C．6D．446.如右图的流程图，若输出的结果132s，则判断框中应填A．?10iB．?11iC．?11i[来源:学科网ZXXK]D．?12i7.直线12xy的参数方程是（）A1222tytx（t为参数）B1412tytx（t为参数）C121tytx（t为参数）D1sin2sinyx（为参数）8.已知双曲线2221(0)xyaa,过点C（0，1）且斜率为1的直线交双曲线的两渐近线于A、B两点,若2ACCB，则双曲线的离心率为A52B5C103D10二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.如果不等式组0210xyxkxy表示的平面区域是一个直角三角形，则k=_______________.10.由正整数组成的一组数据1234,,,xxxx，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________。（从小到大排列）11.函数1xyx的定义域为_________12.已知()(2)(3)fxmxmxm，()22xgx.若,()0xRfx或()0gx，则m的取值范围是.13.在△ABC中，若3a，3b，3A，则C的大小为.14.已知{}na为等差数列，nS为其前n项和.若112a，23Sa，则2a；nS=.三、解答题：本大题共6小题,共80分.15.（本小题满分13分）已知函数()sin()(,0,02fxAxxR的部分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；[来源:Z#xx#k.Com]（Ⅱ）求函数()()()1212gxfxfx的单调递增区间.16.（本小题满分13分）已知{}na是各项均为正数的等比数列,{}nb是等差数列,且112331,2abbba==+=,5237ab-=.（I）求{}na和{}nb的通项公式；（II）设*,nnncabnN=Î,求数列{}nc的前n项和.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.[来源:学科网]18.（本小题满分13分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）19.(本小题满分l4分)已知函数)1(ln)(xaxxf，a∈R．(1)当1a时讨论函数)(xf的单调性；(2)当1x时，)(xf≤1lnxx恒成立，求a的取值范围．20.(本小题满分l4分)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为12的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.试卷答案1.B2.C【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若p，则q”，所以“若α=4，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠4”.3.C4.B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,65SSSS后右左底，因此该几何体表面积3065S，故选B。5.D【解析】题目中0202xy表示的区域表示正方形区域，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122244224p，故选D6.B7.C8.D9.【答案】0或2110.【答案】这组数据为_________1,1,3,3【解析】不妨设1234xxxx得：231234144,84xxxxxxxx2222212341(2)(2)(2)(2)420,1,2isxxxxx①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意②只能取21ix；得：这组数据为1,1,3,311.【答案】定义域为______[1,0)(0,)【解析】1xyx中的x满足：10100xxx或0x12.【答案】(4,0)【解析】首先看()22xgx没有参数，从()22xgx入手，显然1x时，()0gx，1x时，()0gx，而对,()0xRfx或()0gx成立即可，故只要1x时，()0fx（*）恒成立即可。当0m时，()0fx，不符合（*），所以舍去；当0m时，由()(2)(3)0fxmxmxm得32mxm，并不对1x成立，舍去；当0m时，由()(2)(3)0fxmxmxm，注意20,1mx，故20xm，所以30xm，即(3)mx，又1x，故(3)(,4]x，所以4m，又0m，故(4,0)m，综上，m的取值范围是(4,0)。13.【答案】2【解析】222cos232bcaAcbc，而sinsincaCA，故sin12CC。14.【答案】1，1(1)4nn【解析】23Sa，所以111211212aadaddaad，1(1)4nSnn。15.（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212TT.因为点5(,0)12在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A即.又55450,,=26636从而，即=6.又点0,1（）在函数图像上，所以sin1,26AA，故函数f（x）的解析式为()2sin(2).6fxx（Ⅱ）()2sin22sin2126126gxxx2sin22sin(2)3xx132sin22(sin2cos2)22xxxsin23cos2xx2sin(2),3x由222,232kxk得5,.1212kxkkz()gx的单调递增区间是5,,.1212kkkz16（I）（I）设{}na的公比为q,{}nb的公差为d,由题意0q,由已知,有24232,310,qdqd消去d得42280,qq解得2,2qd,所以{}na的通项公式为12,nnanN,{}nb的通项公式为21,nbnnN.（II）由（I）有1212nncn,设{}nc的前n项和为nS,则0121123252212,nnSn1232123252212,nnSn两式相减得2312222122323,nnnnSnn所以2323nnSn.17.（Ⅰ）因为,,.PAABCDBDABCDPABD平面平面所以又,,ACBDPAAC是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而PC平面PAC，所以BDPC.（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角，从而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC，知BDPO.在RtPOD中，由DPO30，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，ACBD，所以,AODBOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为111(42)3,222ADBC于是梯形ABCD面积1(42)39.2S在等腰三角形ＡＯＤ中，2,22,2ODAD所以22242,4.PDODPAPDAD故四棱锥PABCD的体积为11941233VSPA.18.（Ⅰ）由已知得251055,35,15,20yxyxy，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:1151.5302252.5203101.9100(分钟).（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，123,,AAA分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得123153303251(),(),()10020100101004PAPAPA.123123,,,AAAAAAA且是互斥事件，123123()()()()()PAPAAAPAPAPA33172010410.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.19.解：(Ⅰ))(xf的定义域为),,0(xaxxf1)(\'，若,0a则\'()0,fx)(xf在),0(上单调递增，若0,a则由0)(\'xf得ax1，当)1,0(ax时，,0)(\'xf当),1(ax时，0)(\'xf，)(xf在)1,0(a上单调递增，在),1(a单调递减.所以当0a时，()fx在),0(上单调递增，当0a时，()fx在)1,0(a上单调递增，在),1(a单调递减.(Ⅱ)1)1(ln1ln)(2xxaxxxxxf,令)1)(1(ln)(2xxaxxxg,axxxg21ln)(,令()()ln12Fxgxxax,12()axFxx,(2)1110a,),()0,(()(1,,)2122xFxgxaa若当在递增,g(x)g(1)1-2a,从而以下论证(1)同一样，所以不符合题意.1(3),()01,2aFx若在恒成立,02a-1(1)g(x)g1,(x)g递减，在,01ln)(,0)1()(,,1g(x)xxxfgxg递减在从而,综上所述，a的取值范围是,21[来源:Zxxk.Com]20.（Ⅰ）由22420xyx，得22(2)2xy.故圆Ｃ的圆心为点(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为22221(0),xyabab其焦距为2c，由题设知22212,,24,12.2cceacbaca故椭圆Ｅ的方程为：221.1612xy（Ⅱ）设点p的坐标为00(,)xy，12,ll的斜分率分别为12,.kk则12,ll的方程分别为10102020:(),:(),lyykxxlyykxx且121.2kk由1l与圆22:(2)2cxy相切，得　　101021221kykxk，即　　　　　222010020(2)22(2)20.xkxyky同理可得　　222020020(2)22(2)20xkxyky.从而12,kk是方程0220000(2)22(2)20xkxyky的两个实根，于是　　　　　　　202200(2)20,8(2)20,xxy　　　　　　　①且20122222.(2)2ykkx由220020201,161221(2)22xyyx得20058360.xx解得02,x或010.5x由02x得03;y由0185x得057,5y它们满足①式，故点Ｐ的坐标为(2,3)，或(2,3)，或1857(,)55，或1857(,)55.