2017年高考数学知识方法专题4《三角函数与平面向量第21练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型》

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第21练　关于平面向量数量积运算的三类经典题型[题型分析·高考展望]　平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查.体验高考1.(2015·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于(　　)A.－a2B.－a2C.a2D.a2答案　D解析　如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴BD·CD＝|BD||CD|cos30°＝a2×＝a2.2.(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.π答案　A解析　由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0，∴cosθ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.3.(2015·陕西)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2答案　B解析　对于A，由|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.4.(2016·课标全国乙)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝______.答案　－2解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.5.(2016·上海)在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，－1)，P是曲线y＝上一个动点，则BP·BA的取值范围是________.答案　[0，1＋]解析　由题意知y＝表示以原点为圆心，半径为1的上半圆.设P(cosα，sinα)，α∈[0，π]，BA＝(1，1)，BP＝(cosα，sinα＋1)，所以BP·BA＝cosα＋sinα＋1＝sin(α＋)＋1∈[0，1＋]BP·BA的范围为[0，1＋].高考必会题型题型一　平面向量数量积的基本运算例1　(1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM等于(　　)A.20B.15C.9D.6(2)(2015·福建)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于(　　)A.13B.15C.19D.21答案　(1)C　(2)A解析　(1)AM＝AB＋AD，NM＝CM－CN＝－AD＋AB，∴AM·NM＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16AB2－9AD2)＝(16×62－9×42)＝9，故选C.(2)建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，AB＝，AC＝(0，t)，AP＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，PB·PC＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.点评　(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.变式训练1　在△ABC中，AD⊥AB，BC＝2BD，|AD|＝1，则AC·AD等于(　　)A.2B.C.D.答案　A解析　在△ABC中，BC＝2BD，所以AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝(AB＋2BD)·AD，又因为BD＝AD－AB，所以AC·AD＝[(1－2)AB＋2AD]·AD＝(1－2)AB·AD＋2AD·AD＝(1－2)AB·AD＋2AD2，因为AD⊥AB，所以AD⊥AB，所以AD·AB＝0，所以AC·AD＝(1－2)×0＋2×1＝2，故选A.题型二　利用平面向量数量积求两向量夹角例2　(1)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4的所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.0(2)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上单调递减，则向量a，b的夹角的取值范围是()A.B.C.D.答案　(1)B　(2)D解析　(1)设a与b的夹角为θ，由于xi，yi(i＝1，2，3，4)均由2个a和2个b排列而成，记S＝(xi·yi)，则S有以下三种情况：①S＝2a2＋2b2；②S＝4a·b；③S＝|a|2＋2a·b＋|b|2.∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2，②中S＝8|a|2cosθ，③中S＝5|a|2＋4|a|2cosθ.易知②最小，即8|a|2cosθ＝4|a|2，∴cosθ＝，又0≤θ≤π，∴θ＝，故选B.(2)设向量a，b的夹角为θ，因为f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5，所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6a·b，又函数f(x)在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4×(－6)×(6a·b)≤0，解得a·b≤－|a|2，因为a·b＝|a||b|·cosθ，且|a|＝2|b|≠0，所以|a||b|cosθ＝|a|2cosθ≤－|a|2，解得cosθ≤－，因为θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角θ的取值范围是，故选D.点评　求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时，两向量的夹角为钝角.变式训练2　若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)A.30°B.60°C.120°D.150°答案　C解析　设a与b的夹角为θ，由题意得|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，可得2a·b＋b2＝2|a|·|b|cosθ＋b2＝2|a|·|a|cosθ＋|a|2＝0，解得cosθ＝－，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，故选C.题型三　利用数量积求向量的模例3　(1)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，点P是腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________.答案　(1)3　(2)5解析　(1)由|2a－b|＝，则|2a－b|2＝10，及4a2－4a·b＋b2＝10，又向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，所以4×1－4×1×|b|cos＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，解得|b|＝3.(2)方法一　以点D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA＝(2，－x)，PB＝(1，a－x)，∴PA＋3PB＝(5，3a－4x)，|PA＋3PB|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|PA＋3PB|的最小值为5.方法二　设DP＝xDC(0＜x＜1)，∴PC＝(1－x)DC，PA＝DA－DP＝DA－xDC，PB＝PC＋CB＝(1－x)DC＋DA，∴PA＋3PB＝DA＋(3－4x)DC，|PA＋3PB|2＝DA2＋2××(3－4x)DA·DC＋(3－4x)2DC2＝25＋(3－4x)2DC2≥25，∴|PA＋3PB|的最小值为5.点评　(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|＝.变式训练3　已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，(c－a)·(c－a)＝－1，则|c－a|的最大值为(　　)A.＋B.＋1C.D.＋1答案　D解析　在平面直角坐标系中，取B(2，0)，A(2，2)，则OA＝a，OB＝b，设c＝OC＝(x，y)，则(c－a)·(c－b)＝(x－2，y－2)·(x－2，y)＝(x－2)2＋y(y－2)＝－1，即(x－2)2＋(y－)2＝1，所以点C(x，y)在以D(2，)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|＝，最大值为|AD|＋1＝＋1.故选D.高考题型精练1.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF·DC等于(　　)A.B.C.－D.－答案　D解析　由题四边形ABCD的边和对角线的长都为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF平行于BD，则EF·DC＝BD·DC＝×1×1×cos120°＝－.2.(2016·课标全国丙)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC等于(　　)A.30°B.45°C.60°D.120°答案　A解析　|BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝.又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.3.(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值为(　　)A.6B.7C.8D.9答案　B解析　由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故PA＋PC＝2PO＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，PB＝(x－2，y)，所以PA＋PB＋PC＝(x－6，y).故|PA＋PB＋PC|＝，－1≤x≤1，∴当x＝－1时有最大值＝7，故选B.4.已知三点A(－1，－1)、B(3，1)、C(1，4)，则向量BC在向量BA方向上的投影为(　　)A.B.－C.D.－答案　A解析　BC＝(－2，3)，BA＝(－4，－2)，向量BC在向量BA方向上的投影为＝＝，故选A.5.(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)A.|b|＝1B.a⊥bC.a·b＝1D.(4a＋b)⊥BC答案　D解析　在△ABC中，由BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·BC＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC，故选D.6.已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a，b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(　　)A.(－∞，)B.(，＋∞)C.(－2，)∪(，＋∞)D.(－∞，－2)∪(－2，)答案　D解析　∵a，b的夹角为锐角，∴a·b＝1×1＋(－2)λ＞0且1×(－2)－1×λ≠0，∴λ∈(－∞，－2)∪(－2，)，故选D.7.已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a＋b)⊥a，则向量a和b的夹角是______.答案　解析　∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝3＋×2cos〈a，b〉＝0，cos〈a，b〉＝－，又0≤〈a，b〉≤π，∴a和b的夹角为.8.(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________.答案　解析　由已知可得，≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，由于上式对任意单位向量e都成立.∴≥|a＋b|成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.9.如图，在△ABC中，点O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉＝60°，则|OA|＝________.答案　解析　因为〈AB，AC〉＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos60°＝1×3×＝，又AO＝(AB＋AC)，所以AO2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋2AB·AC＋AC2)，即AO2＝(1＋3＋9)＝，所以|OA|＝.10.已知点O是锐角△ABC的外心，AB＝8，AC＝12，A＝.若AO＝xAB＋yAC，则6x＋9y＝________.答案　5解析　如图，设点O在AB，AC上的射影分别是点D，E，它们分别为AB，AC的中点，连接OD，OE.由数量积的几何意义，可得AB·AO＝|AB|·|AD|＝32，AC·AO＝|AC|·|AE|＝72，依题意有AB·AO＝xAB2＋yAC·AB＝64x＋48y＝32，即4x＋3y＝2，AC·AO＝xAB·AC＋yAC2＝48x＋144y＝72，即2x＋6y＝3，将两式相加可得6x＋9y＝5.11.设a＝(－1，1)，b＝(x，3)，c＝(5，y)，d＝(8，6)，且b∥d，(4a＋d)⊥c.(1)求b和c；(2)求c在a方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.解　(1)∵b∥d，∴6x－24＝0，∴x＝4.∵4a＋d＝(4，10)，(4a＋d)⊥c，∴5×4＋10y＝0，y＝－2，∴b＝(4，3)，c＝(5，－2).(2)cos〈a，c〉＝＝＝－，∴c在a方向上的投影为|c|cos〈a，c〉＝－.(3)∵c＝λ1a＋λ2b，∴解得λ1＝－，λ2＝.12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD＝DB.(1)求|AB－AC|；(2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB＋tAC，y＝tAB＋AC，令k＝x·y，求k的最小值.解　(1)由AD＝DB，且A，B，D三点共线，可知|AD|＝|DB|.又AD＝5，所以DB＝11.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，所以BC＝14.所以|AB－AC|＝|CB|＝14.(2)由(1)，知|AB|＝16，|AC|＝10，|BC|＝14.由余弦定理，得cosA＝＝.由x＝AB＋tAC，y＝tAB＋AC，知k＝x·y＝(AB＋tAC)·(tAB＋AC)＝t|AB|2＋(t2＋1)AC·AB＋t|AC|2＝256t＋(t2＋1)×16×10×＋100t＝80t2＋356t＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1时，k取得最小值516.