2017年高考数学知识方法专题2《不等式与线性规划第4练 用好基本不等式》

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第4练　用好基本不等式[题型分析·高考展望]　基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．体验高考1．(2015·四川)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为(　　)A．16B．18C．25D.答案　B解析　①当m＝2时，∵f(x)在[，2]上单调递减，∴0≤n＜8，mn＝2n＜16.②m≠2时，抛物线的对称轴为x＝－.据题意得，当m＞2时，－≥2，即2m＋n≤12，∵≤≤6，∴mn≤18，由2m＝n且2m＋n＝12得m＝3，n＝6.当m＜2时，抛物线开口向下，据题意得，－≤，即m＋2n≤18，∵≤≤9，∴mn≤，由2n＝m且m＋2n＝18得m＝9＞2，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有m＋2n＝18(m＜2，n＞8)．∴mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16，综上所述，mn的最大值为18，故选B.2．(2015·陕西)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q答案　C解析　∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.3．(2015·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．答案　4解析　log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤2＝2＝2＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．答案　8解析　在△ABC中，A＋B＋C＝π，sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，由已知，sinA＝2sinBsinC，∴sin(B＋C)＝2sinBsinC.∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得：tanB＋tanC＝2tanBtanC.又tanA＝－tan(B＋C)＝－＝.∴tanA(tanBtanC－1)＝tanB＋tanC.则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC，∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC≥2，∴≥2，∴tanAtanBtanC≥8.5．(2016·上海)设a＞0，b＞0.若关于x，y的方程组无解，则a＋b的取值范围是________．答案　(2，＋∞)解析　由已知，ab＝1，且a≠b，∴a＋b＞2＝2.高考必会题型题型一　利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．2．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x＋＝x－a＋＋a(x>a)．(2)若＋＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均为正数)．例1　(1)已知正常数a，b满足＋＝3，则(a＋1)(b＋2)的最小值是________．答案　解析　由＋＝3，得b＋2a＝3ab，∴(a＋1)(b＋2)＝2a＋b＋ab＋2＝4ab＋2，又a＞0，b＞0，∴＋≥2，∴ab≥(当且仅当b＝2a时取等号)，∴(a＋1)(b＋2)的最小值为4×＋2＝.(2)求函数y＝(x＞－1)的最小值．解　设x＋1＝t，则x＝t－1(t＞0)，∴y＝＝t＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，∴ymin＝9.点评　求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值．等号能够取得．变式训练1　已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20，(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．解　(1)∵x＞0，y＞0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x＞0，y＞0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时等号成立．由解得∴＋的最小值为.题型二　基本不等式的综合应用例2　(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)A．60件B．80件C．100件D．120件答案　B解析　平均每件产品的费用为y＝＝＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号，所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．(2)某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解　设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120＋20S，则S＋6－160≤0，即(－10)·(＋16)≤0，故0＜≤10，从而0＜S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．点评　基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备．变式训练2　(1)已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是________．答案　解析　圆的方程变形为(x－1)2＋(y－2)2＝5，由已知可得直线ax＋by－6＝0过圆心O(1,2)，∴a＋2b＝6(a＞0，b＞0)，∴6＝a＋2b≥2，∴ab≤(当且仅当a＝2b时等号成立)，故ab的最大值为.(2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．①写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解　①当0＜x＜80时，L(x)＝1000x×0.05－(x2＋10x)－250＝－x2＋40x－250.当x≥80时，L(x)＝1000x×0.05－(51x＋－1450)－250＝1200－(x＋)．∴L(x)＝②当0＜x＜80时，L(x)＝－x2＋40x－250.对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)最大＝950(万元)．当x≥80时，L(x)＝1200－(x＋)≤1200－2＝1000(万元)，当且仅当x＝100时，L(x)最大＝1000(万元)，综上所述，当x＝100时，年获利最大．高考题型精练1．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy(　　)A．有最大值eB．有最大值C．有最小值eD．有最小值答案　C解析　∵x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，∴lnx·lny＝≤2，∴lnx＋lny＝lnxy≥1⇒xy≥e.2．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)A.B.C．5D．6答案　C解析　方法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.方法二　由x＋3y＝5xy得x＝，∵x＞0，y＞0，∴y＞，∴3x＋4y＝＋4y＝＋·＋4≥＋2＝5，当且仅当y＝时等号成立，∴3x＋4y的最小值是5.3．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是(　　)A．1B．6C．9D．16答案　B解析　∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝＞0，解得a＞1.同理可得b＞1，∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，∴最小值为6.故选B.4．已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为()A．4B．16C．9D．3答案　B解析　因为a＞0，b＞0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16，故选B.5．已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m＞0)的最小值为3，则m等于(　　)A．2B．2C．3D．4答案　D解析　由2x－3＝()y得x＋y＝3，＋＝(x＋y)(＋)＝(1＋m＋＋)≥(1＋m＋2)(当且仅当＝时取等号)∴(1＋m＋2)＝3，解得m＝4，故选D.6．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c＞0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)A．9B．8C．4D．2答案　A解析　圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)，因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.因为b，c＞0，所以＋≥2＝4.当且仅当＝时等号成立．由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9.7．已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．答案　6解析　由已知得x＝.方法一　(消元法)∵x＞0，y＞0，∴0＜y＜3，∴x＋3y＝＋3y＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，当且仅当＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.方法二　∵x＞0，y＞0,9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·2，当且仅当x＝3y时等号成立．设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.8．已知三个正数a，b，c成等比数列，则＋的最小值为________．答案　解析　由条件可知a＞0，b＞0，c＞0，且b2＝ac，即b＝，故≥＝2，令＝t，则t≥2，所以y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋＝.9．已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．答案　[4,12]解析　∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，∴6－(x2＋4y2)≤，∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)，又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(当且仅当x＝－2y时取等号)，综上可知4≤x2＋4y2≤12.10．当x∈(0,1)时，不等式≥m－恒成立，则m的最大值为________．答案　9解析　方法一　(函数法)由已知不等式可得m≤＋，设f(x)＝＋＝＝，x∈(0,1)．令t＝3x＋1，则x＝，t∈(1,4)，则函数f(x)可转化为g(t)＝＝＝＝，因为t∈(1,4)，所以5＞t＋≥4，0＜－(t＋)＋5≤1，≥9，即g(t)∈[9，＋∞)，故m的最大值为9.方法二　(基本不等式法)由已知不等式可得m≤＋，因为x∈(0,1)，则1－x∈(0,1)，设y＝1－x∈(0,1)，显然x＋y＝1.故＋＝＋＝＋＝5＋(＋)≥5＋2＝9，当且仅当＝，即y＝，x＝时等号成立．所以要使不等式m≤＋恒成立，m的最大值为9.11．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解　(1)设所用时间为t＝(小时)，y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]．(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝，即x＝18时等号成立．故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解　(1)设每件定价为t元，依题意，有t≥25×8，整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x＞25时，a≥＋x＋有解，∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2，∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．