2017年高考数学知识方法专题4《三角函数与平面向量第17练 三角函数的化简与求值》

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第17练　三角函数的化简与求值[题型分析·高考展望]　三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.体验高考1.(2015·课标全国Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°等于(　　)A.－B.C.－D.答案　D解析　sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.2.(2015·重庆)若tanα＝2tan，则等于(　　)A.1B.2C.3D.4答案　C解析　＝＝＝＝＝＝3.3.(2016·课标全国甲)若cos＝，则sin2α等于(　　)A.B.C.－D.－答案　D解析　因为sin2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin2α＝2×－1＝－，故选D.4.(2016·课标全国丙)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于(　　)A.B.C.1D.答案　A解析　tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.5.(2016·四川)cos2－sin2＝________.答案　解析　由题可知，cos2－sin2＝cos＝.高考必会题型题型一　利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin2α＋cos2α＝1；tanα＝.基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α；(3)在进行开方运算时，注意判断符号.例1　已知tanα＝2，求：(1)的值；(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值.解　(1)方法一　∵tanα＝2，∴cosα≠0，∴＝＝＝＝.方法二　由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得＝＝＝.(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝＝＝＝.点评　本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cosα”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2α＋cos2α代换“1”，变成分式后再化简.变式训练1　已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sin2α.解　由已知得sinα＝2cosα.(1)原式＝＝－.(2)原式＝＝＝.题型二　利用诱导公式化简与求值1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例2　(1)设f(α)＝，则f＝______.(2)化简：＋＝________.答案　(1)　(2)0解析　(1)∵f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝＝.(2)原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.点评　熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.变式训练2　(1)(2016·课标全国乙)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.(2)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin＝________.答案　(1)－　(2)0解析　(1)将θ－转化为(θ＋)－.由题意知sin(θ＋)＝，θ是第四象限角，所以cos(θ＋)＞0，所以cos(θ＋)＝＝.tan(θ－)＝tan(θ＋－)＝－tan[－(θ＋)]＝－＝－＝－＝－.(2)cos＝cos＝－cos＝－a.sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.题型三　利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.例3　化简：(1)sin50°(1＋tan10°)；(2).解　(1)sin50°(1＋tan10°)＝sin50°(1＋tan60°tan10°)＝sin50°·＝sin50°·＝＝＝＝1.(2)原式＝＝＝＝＝cos2x.点评　(1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用.(2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形.变式训练3　(1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值为________.(2)的值是(　　)A.B.C.D.(3)若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为(　　)A.B.－C.D.－答案　(1)　(2)C　(3)D解析　(1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan＝，所以tan＋tan＋tantan＝tan＋tantan＝＋tantan＝.(2)原式＝＝＝＝.(3)cos2α＝sin＝sin＝2sincos代入原式，得6sincos＝sin，∵α∈，sin(－α)≠0，∴cos＝，∴sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.高考题型精练1.(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案　A解析　∵sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0；cos2α＝0⇔cosα＝±sinα⇏sinα＝cosα，故选A.2.(2016·课标全国丙)若tanθ＝－，则cos2θ等于(　　)A.－B.－C.D.答案　D解析　tanθ＝－，则cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.3.若tan＝，且－＜α＜0，则等于(　　)A.－B.C.－D.答案　A解析　由tan＝＝，得tanα＝－.又－＜α＜0，所以sinα＝－.故＝＝2sinα＝－.4.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg5)，b＝f(lg)，则(　　)A.a＋b＝0B.a－b＝0C.a＋b＝1D.a－b＝1答案　C解析　a＝f(lg5)＝sin2(lg5＋)＝＝，b＝f(lg)＝sin2(lg＋)＝＝，则可得a＋b＝1.5.已知sin＋sinα＝，则sin的值是(　　)A.－B.C.D.－答案　D解析　sin＋sinα＝⇒sincosα＋cossinα＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sinα＋cosα＝，故sin＝sinαcos＋cosαsin＝－＝－.6.若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)等于(　　)A.B.C.4D.12答案　C解析　由已知得4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17，∴tanα－tanβ＝4(1＋tanαtanβ)，∴tan(α－β)＝＝4.7.(2015·江苏)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________.答案　3解析　∵tanα＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tanβ＝3.8.设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.答案　－解析　f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.9.已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝_______.答案　解析　∵α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，∴(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝，sinα＝，∴＝＝.10.(2015·四川)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________.答案　－1解析　∵sinα＋2cosα＝0，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2.又∵2sinαcosα－cos2α＝＝，∴原式＝＝－1.11.(2015·广东)已知tanα＝2.(1)求tan的值；(2)求的值.解　(1)tan＝＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝＝1.12.已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f的值；(2)若sinα＝，且α∈，求f.解　(1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin，所以f＝＋sin＝＋sin＝＋.又因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f＝＋＝.