2017年高考数学知识方法专题4《三角函数与平面向量第19练 解三角形问题》

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第19练　解三角形问题[题型分析·高考展望]　正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点.体验高考1.(2016·天津)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于(　　)A.1B.2C.3D.4答案　A解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).故选A.2.(2016·课标全国丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于(　　)A.B.C.－D.－答案　C解析　设BC边上的高线AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝＝－3，所以cosA＝－.3.(2015·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________.答案　8解析　∵cosA＝－，0＜A＜π，∴sinA＝.S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，∴bc＝24.又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52.由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，∴a＝8.4.(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.答案　1解析　因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.5.(2016·北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求∠B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值.解　(1)由a2＋c2＝b2＋ac得a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理得cosB＝＝＝.又0＜B＜π，所以B＝.(2)A＋C＝π－B＝π－＝，所以C＝－A，0＜A＜.所以cosA＋cosC＝cosA＋cos＝cosA＋coscosA＋sinsinA＝cosA－cosA＋sinA＝sinA＋cosA＝sin.因为0＜A＜，所以＜A＋＜π，故当A＋＝，即A＝时，cosA＋cosC取得最大值1.高考必会题型题型一　活用正弦、余弦定理求解三角形问题例1　(1)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝且b0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.(2)解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cosA＝＝.所以sinA＝＝.由(1)，知sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinB＝cosB＋sinB，故tanB＝＝4.