2015年北京高考文科数学试卷+答案

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2015年北京市高考数学试卷（文科）　一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|5﹣＜x＜2}，B={x|3﹣＜x＜3}，则A∩B=（　　）　A．{x|3﹣＜x＜2}B．{x|5﹣＜x＜2}C．{x|3﹣＜x＜3}D．{x|5﹣＜x＜3}　2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）　A．（x1﹣）2+（y1﹣）2=1B．B（x+1）2+（y+1）2=1C．（x+1）2+（y+1）2=2D．（x1﹣）2+（y1﹣）2=2　3．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（　　）　A．y=x2sinxB．y=x2cosxC．y=|lnx|D．y=2x﹣　4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（　　）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300　A．90B．100C．180D．300　5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）　A．3B．4C．5D．6　6．（5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（　　）　A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件　C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件　7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　）　A．1B．C．D．2　8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（　　）　A．6升B．8升C．10升D．12升　　二、填空题9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为　　　　　　．　10．（5分）（2015•北京）23﹣，3，log25三个数中最大数的是　　　　　　．　11．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=　　　　　．　12．（5分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=．　13．（5分）（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为　　　　　　．　14．（5分）（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　　　　　　；②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　　　　　　．　　三、解答题（共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx2﹣sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．　16．（13分）（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4a﹣3=2（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？　17．（13分）（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？　18．（14分）（2015•北京）如图，在三棱锥VABC﹣中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，ACBC⊥且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥VABC﹣的体积．　19．（13分）（2015•北京）设函数f（x）=klnx﹣，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．　20．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．　　2015年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析　一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|5﹣＜x＜2}，B={x|3﹣＜x＜3}，则A∩B=（　　）　A．{x|3﹣＜x＜2}B．{x|5﹣＜x＜2}C．{x|3﹣＜x＜3}D．{x|5﹣＜x＜3}考点：交集及其运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：直接利用集合的交集的运算法则求解即可．解答：解：集合A={x|5﹣＜x＜2}，B={x|3﹣＜x＜3}，则A∩B={x|3﹣＜x＜2}．故选：A．点评：本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力．　2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）　A．（x1﹣）2+（y1﹣）2=1B．B（x+1）2+（y+1）2=1C．（x+1）2+（y+1）2=2D．（x1﹣）2+（y1﹣）2=2考点：圆的标准方程．菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆．分析：利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．解答：解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．点评：本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．　3．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（　　）　A．y=x2sinxB．y=x2cosxC．y=|lnx|D．y=2x﹣考点：函数奇偶性的判断．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．解答：解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠2﹣﹣x；是非奇非偶的函数；故选B点评：本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断f（﹣x）与f（x）关系，相等是偶函数，相反是奇函数．　4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（　　）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300　A．90B．100C．180D．300考点：分层抽样方法．菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论．解答：解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．点评：本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．　5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）　A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．　6．（5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（　　）　A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件　C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．解答：解：（1）；∴时，cos=1；∴；∴∥；“∴”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；“∴”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选A．点评：考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．　7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　）　A．1B．C．D．2考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案解答：解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形PA=1∴，AB=1，AD=1，PB=∴，PC==．PD=该几何体最长棱的棱长为：故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键　8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（　　）　A．6升B．8升C．10升D．12升考点：一次函数的性质与图象．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．解答：解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；故选：B．点评：本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．　二、填空题9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为　﹣1　．考点：复数的基本概念．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．解答：解：复数i（1+i）=﹣1+i，所求复数的实部为：﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．　10．（5分）（2015•北京）23﹣，3，log25三个数中最大数的是　log25　．考点：不等式比较大小．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜23﹣＜1，1＜3＜2，log25＞log24=2，即可得到最大数．解答：解：由于0＜23﹣＜1，1＜3＜2，log25＞log24=2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．点评：本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题．　11．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=　　．考点：正弦定理．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．解答：解：由正弦定理可得，=，即有sinB===，由b＜a，则B＜A，可得B=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题．　12．（5分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=　．考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值．解答：解：双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），由题意可得=2，解得b=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题．　13．（5分）（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为　7　．考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．即A（2，1）．此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，故答案为：7．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．　14．（5分）（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　乙　；②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　数学　．考点：两个变量的线性相关．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：根据散点图分析三位同学总成绩名次，语文、数学名次．解答：解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学．点评：本题考查了对散点图的认识；属于基础题．　三、解答题（共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx2﹣sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x∈[0，]，可求范围x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．解答：解：（1）∵f（x）=sinx2﹣sin2=sinx2﹣×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣f∴（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，x+∴∈[，π]，sin∴（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．　16．（13分）（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4a﹣3=2（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？考点：等差数列的性质．菁优网版权所有专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求解答：解：（I）设等差数列{an}的公差为d．a∵4a﹣3=2，所以d=2a∵1+a2=10，所以2a1+d=10a∴1=4，a∴n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{bn}的公比为q，b∵2=a3=8，b3=a7=16，∴q=2∴，b1=4∴=128，而128=2n+2n=63∴b∴6与数列{an}中的第63项相等点评：本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．　17．（13分）（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？考点：相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．解答：解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．点评：本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．　18．（14分）（2015•北京）如图，在三棱锥VABC﹣中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，ACBC⊥且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥VABC﹣的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线得出OMVB∥，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．解答：（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，OMVB∴∥，VB∵⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，VB∴∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，OCAB∴⊥，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，OC∴⊥平面VAB，OC∵⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，S∴VAB△=，OC∵⊥平面VAB，V∴CVAB﹣=•SVAB△=，V∴V﹣ABC=VCVAB﹣=．点评：本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．　19．（13分）（2015•北京）设函数f（x）=klnx﹣，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有专题：导数的综合应用．分析：（1）利用f\'（x）≥0或f\'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．解答：解：（1）由f（x）=f\'（x）=x﹣由f\'（x）=0解得x=f（x）与f\'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：Xf\'（x）f（x）所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，]上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．点评：本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．　20．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．解答：解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，∴椭圆C的标准方程为：+y2=1，a=∴，b=1，c=，∴椭圆C的离心率e==；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），E∵（2，1），∴直线AE的方程为：y1=﹣（1﹣y1）（x﹣2），令x=3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率kBM==1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，又∵直线DE的斜率kDE==1，∴BMDE∥；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x1﹣）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y1=﹣（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率kBM=，联立，得（1+3k2）x26k﹣2x+3k2﹣3=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，k∵BM1=﹣===0，k∴BM=1=kDE，即BMDE∥；综上所述，直线BM与直线DE平行．点评：本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．