2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|13≤x≤5｝，则M∩N=（ ）A. ｛x|0＜x≤13｝ B. ｛x|13≤x＜4｝ C. ｛x|4≤x＜5｝ D. ｛x|0＜x≤5｝2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知（1−i）2z=3+2i，则z=（ ）A. -1-32i B. -1+32i C. -32+i D. -32-i4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（ ）（10√10≈1.259）A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.65.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）A. √72 B. √132 C. √7 D. √136.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）A. B. C. D. 7.等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则（ ）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A’,B’，C\'满足∠A′C′B=45°,∠A′B′C′=60°.由c点测得B点的仰角为15°，曲，BB′与CC′的差为100:由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′−CC′约为（ ）（√3≈1.732）A. 346 B. 373 C. 446 D. 4739.若α∈（0,π2¿,tan2α=cosα2−sinα，则tanα=¿（ ）A. √1515 B. √55 C. √53 D. √15310.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A. 13 B. 25 C. 23 D. 4511.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且ACBC,AC=BC=1⊥，则三棱锥O-ABC的体积为（ ）A. √212 B. √312 C. √24 D. √3412.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f(92)=¿（ ）A. −94 B. −32 C. 74 D. 52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）13.曲线y=2x−1x+2在点（-1，-3）处的切线方程为________。14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，c=a+kb，若ac⊥，则k=________。15.已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且¿PQ∨¿∨F1F2∨¿，则四边形PF1QF2的面积为________。16.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条件（f(x)−f(−7π4)¿(f(x)−f(4π3))>0的最小正整数x为________。三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）17. 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：K2=n(ad−bc)2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d） 18.已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an｝是等差数列：②数列{√Sn｝是等差数列；③a2=3a1注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.（1） 证明：BFDE⊥；（2）当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？20.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x=1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且⊙M与L相切，（1）求⊙M的方程；（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，判断A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.21.己知a＞0且a≠1，函数f（x）=xaax（x＞0），（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.四、选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2√2cosθ.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足⃗AP =√2⃗AM,写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分）23.已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=|2x+3|-|2x-1|.（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范围.答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：M∩N即求集合M,N的公共元素，所以M∩N={x|13≤x4}﹤，故答案为：B【分析】根据交集的定义求解即可.2.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确故不正确的是C故答案为：C【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.3.【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z=3+2i(1−i)2=3+2i−2i=(3+2i)i(−2i)i=−2+3i2=−1+32i故答案为：B【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.4.【答案】C【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=−110，所以V=10−110=110√10≈11.259≈0.8故答案为：C【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.5.【答案】A【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由|PF1|=3|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosF∠1PF2得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°解得c=√72a所以e=ca=√72故答案为：A【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.6.【答案】D【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，则侧视图是故答案为：D【分析】根据三视图的画法求解即可.7.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：当a1=-1，q=2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当{Sn}是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn>0，即a1qn>0，则q>0，所以甲是乙的必要条件；所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.故答案为：B【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.8.【答案】B【考点】正弦定理，正弦定理的应用【解析】【解答】解：如图，过C作BB\'的垂线交BB\'于点M，过B作AA\'的垂线交AA\'于点N，设B\'C\'=CM=m，A\'B\'=BN=n，在△A\'B\'C\'中，由正弦定理得msin75°=nsin45°，在△BCM中，由正弦定理得msin75°=100sin15°，则nsin45°=100sin15°，解得n=200√3−1≈273，得A,C两点到水平面A\'B\'C\'的高度差AA\'-CC\'≈273+100=373.故答案为：B【分析】根据正弦定理求解即可.9.【答案】A【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：由题意得tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα ，则2sinα(2−sinα)=1−2sin2α，解得sinα=14，又因为α∈（0,π2¿ ,所以cosα=√1−sin2α=√154所以tanα=sinαcosα=√1515故答案为：A【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.10.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：将4个1和2个0随机排成一行共有C62种排法，先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有C52种排法，则所求概率为P=C52C62=23故答案为：C【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.11.【答案】A【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1，由ACBC⊥，AC=BC=1知O1为AB的中点，且AB=√2,OC=√22，又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2，OO1=√22，则OO12+O1C2=OC2则OO1O⊥1C，OO1AB⊥，所以OO1⊥平面ABC，所以VO−ABC=13·S△ABC·OO1=13·12·1·1·√22=√212故答案为：A【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即可.12.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质，函数的值【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，由f(0)+f(3)=6得a=-2，所以f(92)=f(2+52)=f(2−52)=f(−12)=f(−32+1)=−f(32+1)=−f(12+2)¿−f(−12+2)=−f(32)=−94a−b=−54a=52故答案为：D【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.【答案】5x-y+2=0【考点】导数的几何意义，直线的点斜式方程【解析】【解答】解：由题意得y\'=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0故答案为：5x-y+2=0【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.14.【答案】−103【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：c→=a→+kb→=(3,1)+k(1,0)=(3+k,1)，由a→⊥c→得a→·c→=3·(3+k)+1=0，解得k=−103故答案为：−103【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.15.【答案】8【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=12|F1F2|，所以PF1PF⊥2，所以SPF1QF2=2S△PF1F2=2×b2×tan∠F1PF22=8故答案为：8【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可16.【答案】2【考点】一元二次不等式的解法，余弦函数的图象【解析】【解答】解：由3T4=13π12−π3=3π4得T=π，ω=2将点(π3,0)代入f(x)=2cos(2x+φ)，得2cos(2×π3+φ)=0则2π3+φ=π2，所以φ=−π6所以f(x)=2cos(2x−π6)（f(x)−f(−7π4)¿(f(x)−f(4π3))>0 等价于(f(x)−1)(f(x)+√3)>0则f(x)<−√3或f(x)>1由图象得最小整数x∈(π2,3π4)，所以x=2故答案为：2【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.【答案】（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：150200=34乙机床生产的产品中一级品的频率是：120200=35（2）由于K2=400+(150×80−50×120)2270×130×200×200=40039≈10.256>6.635所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.18.【答案】选①②作条件证明③：设√Sn=an+b(a>0)，则Sn=(an+b)2，当n=1时，a1=S1=(a+b)2；当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(an+b)2−(an−a+b)2¿a(2an−a+2b)；因为{an}也是等差数列，所以(a+b)2=a(2a−a+2b)，解得b=0；所以an=a2(2n−1)，所以a2=3a1.选①③作条件证明②：因为a2=3a1，{an}是等差数列，所以公差d=a2−a1=2a1，所以Sn=na1+n(n−1)2d=n2a1，即√Sn=√a1n，因为√Sn+1−√Sn=√a1(n+1)−√a1n=√a1，所以{√Sn}是等差数列.选②③作条件证明①：设√Sn=an+b(a>0)，则Sn=(an+b)2，当n=1时，a1=S1=(a+b)2；当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(an+b)2−(an−a+b)2¿a(2an−a+2b)；因为a2=3a1，所以a(3a+2b)=3(a+b)2，解得b=0或b=−4a3；当b=0时，a1=a2,an=a2(2n−1)，当n≥2时，an-an-1=2a2满足等差数列的定义，此时{an}为等差数列；当b=−4a3时，√Sn=an+b=an−43a，√S1=−a3<0不合题意，舍去.综上可知{an}为等差数列.【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明③：根据等差数列的定义得出√Sn=an+b(a>0)，且{an}也是等差数列，进一步递推出③a2=3a1；若选①③作条件证明②：由a2=3a1，显然d=a2−a1=2a1再写出前n项的和与a1,n的关系式√Sn=√a1n，进而证明{√Sn}是等差数列.；选②③作条件证明①：先设√Sn=an+b(a>0)，进一步形为Sn=(an+b)2，再根据an与sn的关系，分ｎ为１，n>1，推导出an-an-1=2a2,显然{an}为等差数列。19.【答案】（1）因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB因为A1B1//AB，BF⊥A1B1，所以BF⊥AB，又BB1∩BF=B，所以AB⊥平面BCC1B1．所以BA,BC,BB1两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图．所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2)，E(1,1,0),F(0,2,1)．由题设D(a,0,2)（0≤a≤2）．因为´BF=(0,2,1),´DE=(1−a,1,−2)，所以´BF⋅´DE=0×(1−a)+2×1+1×(−2)=0，所以BF⊥DE．（2）设平面DFE的法向量为⃗m=(x,y,z)，因为´EF=(−1,1,1),´DE=(1−a,1,−2)，所以{´m⋅´EF=0´m⋅´DE=0，即{−x+y+z=0(1−a)x+y−2z=0．令z=2−a，则´m=(3,1+a,2−a)因为平面BCC1B1的法向量为⃗BA=(2,0,0)，设平面BCC1B1与平面¿的二面角的平面角为θ，则¿cosθ∨¿¿´m⋅´BA∨¿¿´m∨⋅∨´BA∨¿=62×√2a2−2a+14=3√2a2−2a+14¿¿．当a=12时，2a2−2a+4取最小值为272，此时cosθ取最大值为3√272=√63．所以(sinθ)min=√1−(√63)2=√33，此时B1D=12．【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（１）根据条件，先证明BA,BC,BB1两两垂直，再建立如图所示空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量证明BF⊥DE．（２）先设D(a,0,2)设出平面平面DFE的法向量及平面BCC1B1的法向量，分别求出二法向量，再由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的ａ值即为B1D的值。20.【答案】（1）依题意设抛物线C:y2=2px(p>0),P(1,y0),Q(1,−y0)，∵OP⊥OQ,∴⃗OP⋅⃗OQ=1−y02=1−2p=0,∴2p=1，所以抛物线C的方程为y2=x，M(0,2),⊙M与x=1相切，所以半径为1，所以⊙M的方程为(x−2)2+y2=1；（2）设A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x=1或x=3，若A1A2方程为x=1，根据对称性不妨设A1(1,1)，则过A1与圆M相切的另一条直线方程为y=1，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意；若A1A2方程为x=3，根据对称性不妨设A1(3,√3),A2(3,−√3),则过A1与圆M相切的直线A1A3为y−√3=√33(x−3)，又kA1A3=y1−y3x1−x3=1y1+y3=1√3+y3=√33,∴y3=0，x3=0,A3(0,0)，此时直线A1A3,A2A3关于x轴对称，所以直线A2A3与圆M相切；若直线A1A2,A1A3,A2A3斜率均存在，则kA1A2=1y1+y2,kA1A3=1y1+y3,kA2A3=1y2+y3，所以直线A1A2方程为y−y1=1y1+y2(x−x1)，整理得x−(y1+y2)y+y1y2=0，同理直线A1A3的方程为x−(y1+y3)y+y1y3=0，直线A2A3的方程为x−(y2+y3)y+y2y3=0，∵A1A2与圆M相切，∴¿2+y1y2∨¿√1+(y1+y2)2=1¿整理得(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0，A1A3与圆M相切，同理(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0所以y2,y3为方程(y12−1)y2+2y1y+3−y12=0的两根，y2+y3=−2y1y12−1,y2⋅y3=3−y12y12−1，M到直线A2A3的距离为：¿2+y2y3∨¿√1+(y2+y3)2=¿2+3−y12y12−1∨¿√1+(−2y1y12−1)2¿¿¿¿y12+1∨¿√(y12−1)2+4y12=y12+1y12+1=1¿，所以直线A2A3与圆M相切；综上若直线A1A2,A1A3与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切.【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程【解析】【分析】（1）先设抛物线的方程C:y2=2px(p>0),由对称性，可知P(1,y0),Q(1,−y0)，进而由OP⊥OQ,可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；由于圆M的圆心已知,且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；（２）先设出A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)三点的坐标，分A1A2斜率不存在及直线A1A2,A1A3,A2A3斜率均存在讨论，分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。21.【答案】（1）当a=2时，f(x)=x22x,f′(x)=2x·2x−x2·2xln2(2x)2=x·2x(2−xln2)4x,令f\'(x)=0得x=2ln2,当00,当x>2ln2时，f′(x)<0,∴函数f(x)在¿上单调递增；¿上单调递减；（2）f(x)=xaax=1⇔ax=xa⇔xlna=alnx⇔lnxx=lnaa,设函数g(x)=lnxx,则g′(x)=1−lnxx2,令g′(x)=0，得x=e,在(0,e)内g′(x)>0,g(x)单调递增；在(e,+∞)上g′(x)<0,g(x)单调递减；∴g(x)max=g(e)=1e,又g(1)=0，当x趋近于+∞时，g(x)趋近于0，所以曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=alna有两个交点的充分必要条件是00，当y=f(x+a)过A(12,4)时，¿12+a−2∨¿4，解得a=112或−52（舍去），则数形结合可得需至少将y=f(x)向左平移112个单位，∴a≥112.【考点】函数的图象与图象变化，分段函数的解析式求法及其图象的作法，不等式的综合【解析】【分析】（１）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；（２）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与 f（x）图象的关系），由f（x+a）≥g（x）,确定a的取值范围。
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