北京市石景山区高三一模数学理科+参考答案

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北京市石景山区2010年高三统一测试数学试题（理科）考生须知：1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数21i等于（）A．2iB．2iC．1iD．1i2．已知命题:,2pxRx，那么命题p为（）A．,2xRxB．,2xRxC．2,xRxD．2,xRx3．已知平面向量)2,1(a，mbamb则且,//),,2(的值为（）A．1B．-1C．4D．-44．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为（）A．80B．60C．40D．205．经过点P（2，-3）作圆25)1(22yx的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．05yxB．05yxC．05yxD．05yx6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A．求数列}1{n的前10项和)(*NnB．求数列}21{n的前10项和)(*NnC．求数列}1{n的前11项和)(*NnD．求数列}21{n的前11项和)(*Nn7．已知函数)(xf的导函数)(xf的图象如图所示，那么函数)(xf的图象最有可能的是（）8．已知函数xxfx2log)31()(，正实数cba,,是公差为正数的等差数列，且满足0)()()(cfbfaf。若实数d是方程0)(xf的一个解，那么下列四个判断：①ad;②;bd③;cd④cd中有可能成立的个数为（）A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．二项式42()xx的展开式中的常数项为，展开式中各项系数和为。（用数字作答）10．已知曲线C的参数方程为,sin2,cosyx（为参数），则曲线C的普通方程是；点A在曲线C上，点(,)Mxy在平面区域22020210xyxyy上，则|AM|的最小值是。11．如图，已知PE是圆O的切线，直线PB交圆O于A、B两点，PA=4，AB=12，43AE，则PE的长为，ABE的大小为。12．某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的历史成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的成绩分成五段]100,90[70,60,60,50后，画出部分频率分布直方图（如图），那么历史成绩在80,70的学生人数为。13．函数22cossin2sincosyxxxx的最小正周期为，此函数的值域为。14．在数列}{na中，若22*1,(2,,nnaapnnN)p为常数，则称}{na为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若}{na是等方差数列，则}{2na是等差数列；②})1{(n是等方差数列；③若}{na是等方差数列，则),}({*为常数kNkakn也是等方差数列；④若}{na既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。其中正确命题序号为。（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本题满分13分）在ABC中，角A、B、C所对的边分虽为cba,,，且31,2£¬cos.4acC（1）求)sin(BA的值；（2）求Asin的值；（3）求CACB的值。16．（本题满分13分）如图，两个圆形转盘A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的1124和。某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到A，B转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和2000分。先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束，若第一次未赢得积分，则终止活动。（1）记先转A转盘最终所得积分为随机变量X，则X的取值分别是多少？（2）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由。17．（本题满分14分）如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，90ACB，E是棱CC1上动点，F是AB中点，12,4.ACBCAA（1）求证：1CFABB平面；（2）当E是棱CC1中点时，求证：CF//平面AEB1；（3）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由。18．（本题满分13分）在数列}{na中，*113,21(2,)nnaaannnN且（1）求32,aa的值；（2）证明：数列}{nan是等比数列，并求}{na的通项公式；（3）求数列nnSna项和的前}{。19．（本题满分14分）已知椭圆)0(12222babyax的离心率为36，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线mkxyl:交椭圆于不同的两点A、B。（1）求椭圆的方程；（2）求,0,mkOAOBk且求的值（O点为坐标原点）；（3）若坐标原点O到直线l的距离为23，求AOB面积的最大值。20．（本题满分13分）已知函数()2ln.pfxpxxx（1）若2p，求曲线()(1,(1))fxf在点处的切线；（2）若函数()fx在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（3）设函数2(),[1,]egxex若在上至少存在一点0x，使得00()()fxgx成立，求实数p的取值范围。参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1—5CBDAA6—8BAC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．24，8110．22(2)1xy11．80，3012．1813．,[2,2]14．①②③④注：一题两空的第1个空3分，第2个空2分。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本题满分13分）解：（1）ABC在中，CBACCBAsin)sin()sin(又43cosC，20C，.47cos1sin2CC.47)sin(BA3分（2）由正弦定得得.sinsinCcAa.8142471sinsincCaA8分（2）由余弦定理得Cabbaccos222243121)2(222bb，则02322bb解得212bb或（舍）11分.234321cos||||CCACBCACB13分16．（本题满分13分）解：（1）X的取值分别是：0分，1000分，3000分3分（2）由已知得，转动A盘得到积分的概率为12，转动B盘得到积分的概率为145分设先转A盘所得的积分为X分，先转B盘所得的积分为Y分，则有11(0)1,22PX6分113(1000)(1)248PX，7分111(3000).248PX8分1316000010003000.2888EX9分同理：3(0)4PY10分1(2000),8PY11分1(3000).8PY12分3115000020003000.4888EY故先转A盘时，赢得积分平均水平较高。13分17．（本题满分14分）（1）证明：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，1BB平面ABC又CF面ABC，CFBB，1分90ACB°，AC=BC=2，F是AB中点CFAB2分又1,BBABB3分CF平面ABB1。4分（2）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG,FG分别是棱AB、AB1中点，111//,2FGBBFGBB又111//,2ECBBECBB//,FGECFGEC四边形FGEC是平行四边形，6分//.CFDG7分CF平面AEB1，EG平面AEB18分//CF平面AEB1。9分（3）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为,,xyz轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.Cxyz则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4）10分设(0,0,)Em，平面AEB1的法向量(,,)nxyz则1(2,2,4),(2,0,)ABAEm且1,ABnAEn于是12240,200ABnxyzAEnxymz所以,242mzxmzzy取2,(,4,2)znmm则12分三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，1BB平面ABC，又AC平面ABC1BBAC90ACBBCAC.1BBCBBAC平面ECBB1CA是平面EBB1的法向量，(2,0,0)CA二面角A—EB1—B的大小是45°，则22222cos452||||2(4)2CAnmCAnmm13分解得5.2m在棱CC1上存在点E，使得二面角A—EB1—B的大小是45°。此时5.2CE14分18．（本题满分13分）（1）解：*113,21(2,)nnaaannnN且21416.aa2分32611.aa4分（2）证明：11111(21)11.(1)11nnnnnnanannanananan}{nan数列是首项为411a，公比为-1的等比数列。7分14()nnan，即14(1),nnan}{na的通项公式为1*4(1)()nnannN（3）解：1*4(1)()nnannN所以当n是奇数时，12111[4(1)](8).2nnknkkkSaknn10分当n是偶数时，12111[4(1)]().2nnknkkkSaknn12分综上，221(8),21(),,2nnnSnnn是正奇数,-是正偶数13分19．（本题满分14分）解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意3,36aac解得2c由.1,222bcba得2分所求椭圆方程为.1322yx3分（2）,(1)mkykxkkx设),(),,(2211yxByxA，其坐标满足方程2213(1)xyykx消去y并整理得2222(13)6330,kxkxk4分则2222(6)4(13)(33)0kkk（*）5分故22121222633,1313kkxxxxkk6分0OBAO12121212(1)(1)xxyyxxkxkx2221212(1)()kxxkxxk2222222223363(1)0131331kkkkkkkkk3k经检验3k满足式（*）式8分（3）由已知231||2km，可得)1(4322km9分将ymkx代入椭圆方程，整理得.0336)31(222mkmkxxk(*)0)33)(31(4)6(222mkkm.3133,3162221221kmxxkkmxx10分222222221223612(1)||(1)()(1)[](31)31kmmABkxxkkk22222222)13()19)(1(3)13()13)(1(12kkkkmkk11分)0(463212361912316912322242kkkkkk12分当且仅当2219kk，即33k时等号成立，经检验，33k满足（*）式当0k时，3|AB综上可知.2||maxAB13分当|AB最大时，AOB的面积最大值2323221S14分20．（本题满分13分）解：（1）当2p时，函数2()22ln,(1)222ln10fxxxfx222()2fxxx曲线()fx在点(1,(1))f处的切线的斜率为1(1)2222.f1分从而曲线()fx在点(1,(1))f处的切线方程为02(1),yx即22yx（2）22222().ppxxpfxpxxx3分令2()2hxpxxp，要使()fx在定义域（0，∞）内是增函数只需()0hx在（0，+∞）内恒成立4分由题意20,()2phxpxxp的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为1(0,)xp，min1(),hxpp只需10,1ppp即时，()0,()0hxfx()fx在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是1,6分（3）2()[1,]egxex在上是减函数，xe时，min()2;gxmin1,()2xgxe时，即()[2,2]gxe1分①当0p时，2()2hxpxxp其图象为开口向下的抛物线，对称轴1xp在y轴的左侧，且(0)0h，所以()[1,]fxxe在内是减函数。当0p时，在()2hxx因为[1,]xe，所以22()0,()0.xhxfxx此时，()[1,]fxxe在内是减函数。故当0p时，()[1,]fxxe在上单调递减max()(1)02fxf，不合题意；②当01p时，由[1,]xe10xx所以11()()2ln2ln.fxpxxxxxx又由（2）知当1p时，()[1,]fxxe在上是增函数，1112ln2ln22xxeeexee，不合题意；11分③当1p时，由（2）知()[1,]fxxe在上是增函数，(1)02f又()[1,]gxxe在上是减函数，故只需maxmin()(),[1,]fxgxxe而maxmin1()()()2ln,()2fxfepeegxe即1()2ln2,Peee解得241epe，所以实数p的取值范围是24(,)1ee。13分注：另有其它解法，请酌情给分。