北京市西城区高三抽样测试数学试题 (理科)+参考答案word版

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北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题（理科）2010．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项1.设集合{1,2,3,4,5}U，{1,2,3}A，{3,4,5}B，则CU()AB等于A．{1,2,3,4,5}B．{1,2,4,5}C．{1,2,5}D．{3}2.“ln1x”是“1x”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.若0ba，则下列不等式中正确的是A．11abB．abC．2baabD．abab4.如图，三棱柱111ABCABC的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A．3B．23C．22D．45.数列{}na满足11a，23a，1(2)nnana（1,2,n），则3a等于A．15B．10C．9D．56.在数列{}na中，11a，1nnaan，2n．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是A．8iB．9iC．10iD．11i7.设集合{129}S，，，，集合123{,,}Aaaa是S的子集，且123,,aaa满足123aaa结束开始输出0,0,0ias否是（1）ssa1iiaai正（主）视图ABCA1B1C1112，326aa，那么满足条件的子集A的个数为A．78B．76C．84D．838.如图，在等腰梯形ABCD中，//ABCD，且2ABAD.设DAB，(0,)2，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为1e，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为2e，则A．随着角度的增大，1e增大，12ee为定值B．随着角度的增大，1e减小，12ee为定值C．随着角度的增大，1e增大，12ee也增大D．随着角度的增大，1e减小，12ee也减小二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有______名.10.在261()xx的展开式中，常数项是______.（结果用数值表示）11.如图，ABC是圆的内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D.若60ABC，1PD，8BD，则PAC________,PA________.12.圆12cos,:22sinxCy（为参数）的半径为______,若圆C与直线0xym相切，PABCD60807090100500分数频率/组距0.0250.0050.045ABDC则m______.13.设,,abc为单位向量，,ab的夹角为60，则()abcc的最大值为_____.14.已知函数()elnxfxax的定义域是D，关于函数()fx给出下列命题：①对于任意(0,)a，函数()fx是D上的减函数；②对于任意(,0)a，函数()fx存在最小值；③存在(0,)a，使得对于任意的xD，都有()0fx成立；④存在(,0)a，使得函数()fx有两个零点．其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）②、④三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，3AB，2ADBCCD，60A.（Ⅰ）求sinABD的值；（Ⅱ）求BCD的面积.16.（本小题满分13分）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.（Ⅰ）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望.17.（本小题满分13分）如图，四棱柱1111ABCDABCD中，1AD平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱12AA.ABCDD1A1B1C1ABCD（Ⅰ）求证：1//CD平面11ABBA；（Ⅱ）求直线1BD与平面11ACD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角11DACA的余弦值.18.（本小题满分13分）已知0a，函数2()fxxax．设1(,)2ax，记曲线()yfx在点11(,())Mxfx处的切线为l，l与x轴的交点是2(,0)Nx，O为坐标原点．（Ⅰ）证明：21212xxxa；（Ⅱ）若对于任意的1(,)2ax，都有916aOMON成立，求a的取值范围．19.（本小题满分14分）如图，椭圆22:14yCx短轴的左右两个端点分别为,AB，直线:1lykx与x轴、y轴分别交于两点,EF，与椭圆交于两点,CD，.（Ⅰ）若CEFD，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线,ADCB的斜率分别为12,kk，若12:2:1kk，求k的值.20.（本小题满分14分）ADCBxOylEF在数列{}na和{}nb中，nnaa，(1)nbanb，1,2,3,n，其中2a且a*N，bR.（Ⅰ）若11ab，22ab，求数列{}nb的前n项和；（Ⅱ）证明：当2,2ab时，数列{}nb中的任意三项都不能构成等比数列；（Ⅲ）设123{,,,}Aaaa，123{,,,}Bbbb，试问在区间[1,]a上是否存在实数b使得CAB.若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，试说明理由.北京市西城区2010年抽样测试参考答案高三数学试卷（理科）2010.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BACBACDB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.4010.1511.60，312.2，3或113.3114.②④注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.14题②④选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15、解：（Ⅰ）已知60A，由余弦定理得2222cos7BDABADABADA，解得7BD，…………………3分由正弦定理，sinsinADBDABDA，所以sinsinADABDABD.…………………5分ABCD2321277.…………………7分（Ⅱ）在BCD中，2222cosBDBCCDBCCDC，所以744222cosC，1cos8C，…………………9分因为(0,)C，所以37sin8C，…………………11分所以，BCD的面积137sin24SBCCDC.…………………13分16、解：（Ⅰ）设A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25，…………………2分则2232336()()55125PAC.…………………5分（Ⅱ）依题意，X的可能取值为1,2,3,4.…………………6分2(1)5PX，…………………7分323(2)5410PX，…………………9分3221(3)5435PX，…………………10分3211(4)54310PX，…………………11分所以X的分布列为X1234P2531015110…………………12分2311()12342510510EX.…………………13分17、（Ⅰ）证明：四棱柱1111ABCDABCD中，11//BBCC，又1CC面11ABBA，所以1//CC平面11ABBA，…………………2分ABCD是正方形，所以//CDAB，又CD面11ABBA，所以//CD平面11ABBA，…………………3分所以平面11//CDDC平面11ABBA，所以1//CD平面11ABBA.…………………4分（Ⅱ）解：ABCD是正方形，ADCD，因为1AD平面ABCD，所以1ADAD，1ADCD，如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，.…………………5分在1ADA中，由已知可得13AD，所以11(0,0,0),(0,0,3),(1,0,0),(1,1,3)DAAC，11(0,1,3),(1,0,3),(1,1,0)BDB，1(2,1,3)BD，………6分因为1AD平面ABCD，所以1AD平面1111ABCD，111ADBD，又1111BDAC，所以11BD平面11ACD，…………………7分所以平面11ACD的一个法向量为(1,1,0)n，…………………8分设1BD与n所成的角为，则1133cos428BDBDnn，…………………9分所以直线1BD与平面11ACD所成角的正弦值为34.…………………10分（Ⅲ）解：设平面11ACA的法向量为(,,)abcm=，ABCDD1A1B1C1xyz则1110,0ACAAmm,所以0ab，30ac，令3c，可得(3,3,3)m=，…………………12分设二面角11DACA的大小为，则642cos7221mnmn.所以二面角11DACA的余弦值为427.…………………13分18、解：（Ⅰ）对()fx求导数，得()2fxxa，故切线l的斜率为12xa，…………………2分由此得切线l的方程为21111()(2)()yxaxxaxx．…………………4分令0y，得22111211122xaxxxxxaxa.…………………5分（Ⅱ）由2211111(,),(,0)2xMxxaxNxa，得3112xOMONxa.…………6分所以0a符合题意，………………7分当0a时，记3111()2xgxxa，1(,)2ax．对1()gx求导数，得211121(43)()(2)xxagxxa,…………………8分令1()0gx，得13(,)42aax.当1(,)2ax时，1()gx的变化情况如下表：1x3(,)4a34a3(,)42aa1()gx0所以，函数1()gx在3(,)4a上单调递减，在3(,)42aa上单调递增，……10分从而函数1()gx的最小值为2327()432aga.…………………11分依题意22793216aa，…………………12分解得23a，即a的取值范围是2(,)3.…………………13分综上，a的取值范围是2(,)3或0a.19、解：（Ⅰ）设1122(,),(,)CxyDxy，由2244,1xyykx得22(4)230kxkx，222412(4)1648kkk，12224kxxk，12234xxk，…………………2分由已知1(,0),(0,1)EFk，又CEFD，所以11221(,)(,1)xyxyk…………………4分所以121xxk，即211xxk，…………………5分所以2214kkk，解得2k，…………………6分符合题意，所以，所求直线l的方程为210xy或210xy.…………………7分（Ⅱ）2121ykx，1211ykx，12:2:1kk，所以2112(1)2(1)1yxyx，…………………8分平方得22212212(1)4(1)yxyx，…………………9分又221114yx，所以22114(1)yx，同理22224(1)yx，代入上式，计算得2112(1)(1)4(1)(1)xxxx，即121235()30xxxx，…………………12分所以231030kk，解得3k或13k，…………………13分因为2112(1)2(1)1yxyx，12,(1,1)xx，所以12,yy异号，故舍去13k，所以3k.…………………14分20、解：（Ⅰ）因为11ab，所以1aab，1b，…………………1分由22ab，得2210aa，所以1212a，…………………3分因为2a且a*N，所以2a，…………………4分所以31nbn，{}nb是等差数列，所以数列{}nb的前n项和2131()222nnnSbbnn.…………………5分（Ⅱ）由已知32nbn，假设32m，32n，32t成等比数列，其中,,mnt*N，且彼此不等，则2(32)(32)(32)nmt，…………………6分所以29622932322nnmtmt，所以233(2)2nmtmtn，若20mtn，则2330nmt，可得mt，与mt矛盾；………7分若20mtn，则2mtn为非零整数，(2)2mtn为无理数，所以233nmt为无理数，与233nmt是整数矛盾.…………………9分所以数列{}nb中的任意三项都不能构成等比数列.（Ⅲ）设存在实数[1,]ba，使CAB，设0mC，则0mA，且0mB，设0()tmat*N，0(1)()masbs*N，则(1)taasb，所以1tabsa，因为,,ats*N，且2a，所以tab能被1a整除.…………………10分（1）当1t时，因为[1,]ba，[0,1]aba，所以1absa*N；…………………11分（2）当2()tnn*N时，22212[(1)1](1)(1)1nnnnababaCab，由于[1,]ba，所以1[0,1]ba，011ba，所以，当且仅当1b时，tab能被1a整除.…………………12分（3）当21()tnn*N时，212121121[(1)1](1)(1)1nnnnababaCab，由于[1,]ba，所以1[2,1]ba，所以，当且仅当11ba，即ba时，tab能被1a整除.……13分综上，在区间[1,]a上存在实数b，使CAB成立，且当1b时，2{,}nCyyan*N；当ba时，21{,}nCyyan*N.…………14分