高考试题(辽宁卷)——数学文科+(答案解析版)

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(供文科考生使用)解析校对、解析人：辽宁大连瓦房店市高级中学：虞政华QQ:897107879第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合1,3,5,7,9U，1,5,7A，则UCA（A）1,3（B）3,7,9（C）3,5,9（D）3,9解析：选D.在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成.UCA（2）设,ab为实数，若复数121iiabi，则（A）31,22ab（B）3,1ab（C）13,22ab（D）1,3ab解析：选A.1231122iabiii，因此31,22ab.（3）设nS为等比数列na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q（A）3（B）4（C）5（D）6解析：选B.两式相减得，3433aaa，44334,4aaaqa.（4）已知0a，函数2()fxaxbxc，若0x满足关于x的方程20axb，则下列选项的命题中为假命题的是（A）0,()()xRfxfx（B）0,()()xRfxfx（C）0,()()xRfxfx（D）0,()()xRfxfx解析：选C.函数()fx的最小值是0()()2bffxa等价于0,()()xRfxfx，所以命题C错误.（5）如果执行右面的程序框图，输入6,4nm，那么输出的p等于（A）720（B）360（C）240（D）120解析：选B.13456360.p（6）设0,函数sin()23yx的图像向右平移43个单位后与原图像重合，则的最小值是（A）23（B）43（C）32（D）3解析：选C.由已知，周期243,.32T（7）设抛物线28yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF斜率为3，那么PF（A）43（B）8（C）83（D）16解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF为正三角形，则4||8sin30PF（8）平面上,,OAB三点不共线，设,OAaOBb,则OAB的面积等于（A）222()abab（B）222()abab（C）2221()2abab（D）2221()2abab解析：选C.2222111()||||sin,||||1cos,||||1222||||OABabSabababababab2221()2abab（9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）2（B）3（C）312（D）512解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22221(0,0)xyabab，则一个焦点为(,0),(0,)FcBb一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc，()1bbac，2bac220caac，解得512cea.（10）设25abm，且112ab，则m（A）10（B）10（C）20（D）100解析：选A.211log2log5log102,10,mmmmab又0,10.mm（11）已知,,,SABC是球O表面上的点，SAABC平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O的表面积等于（A）4（B）3（C）2（D）解析：选A.由已知，球O的直径为22RSC，表面积为244.R（12）已知点P在曲线41xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是(A)[0,4)(B)[,)42（C）3(,]24(D)3[,)4解析：选D.2441212xxxxxeyeeee，12,10xxeye，即1tan0，3[,)4第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为。解析：填13题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：,,BEEEBEEEB，概率为：1.3（14）设nS为等差数列{}na的前n项和，若36324SS，，则9a。解析：填15.316132332656242SadSad,解得112ad，91815.aad（15）已知14xy且23xy，则23zxy的取值范围是.（答案用区间表示）解析：填(3,8).利用线性规划，画出不等式组1423xyxyxyxy表示的平面区域，即可求解.（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为.解析：填23画出直观图：图中四棱锥PABCD即是，所以最长的一条棱的长为23.PB三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在ABC中，abc、、分别为内角ABC、、的对边，且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinsin1BC，试判断ABC的形状.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得Abccbacos2222PDCBA故120,21cosAA（Ⅱ）由（Ⅰ）得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sinsinCB，得21sinsinCB因为900,900CB，故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。（18）（本小题满分12分）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组。每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。（疱疹面积单位：2mm）（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（Ⅱ）完成下面22列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。附：22()()()()()nadbcKabcdacbd解：（Ⅰ）图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。（Ⅱ）表3疱疹面积小于270mm疱疹面积不小于270mm合计注射药物A70a30b100注射药物B35c65d100合计10595200n56.2495105100100)30356570(20022K由于828.102K，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.（19）（本小题满分12分）如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCCB是菱形，11BCAB（Ⅰ）证明：平面1ABC平面11ABC；（Ⅱ）设D是11AC上的点，且1//AB平面1BCD，求11:ADDC的值.解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以11BCCB又已知BBCBABACB1111,且所又CB1平面A1BC1，又CB1平面AB1C，所以平面CAB1平面A1BC1.（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.即A1D：DC1=1.（20）（本小题满分12分）设1F，2F分别为椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，1F到直线l的距离为23.（Ⅰ）求椭圆C的焦距；（Ⅱ）如果222AFFB,求椭圆C的方程.解：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得1F到直线l的距离323,2.cc故所以椭圆C的焦距为4.（Ⅱ）设112212(,),(,),0,0,AxyBxyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx联立2222422223(2),(3)4330.1yxabybybxyab得解得221222223(22)3(22),.33babayyabab因为22122,2.AFFByy所以即2222223(22)3(22)2.33babaabab得223.4,5.aabb而所以故椭圆C的方程为221.95xy（21）（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln1fxaxax.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx.解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，2121()2aaxafxaxxx.当a≥0时，()fx＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，()fx＜0,故f(x)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令()fx＝0,解得x=12aa.当x∈(0,12aa)时,()fx＞0；x∈(12aa，+)时，()fx＜0,故f(x)在（0,12aa）单调增加，在（12aa，+）单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以1212()()4fxfxxx等价于12()()fxfx≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则1()2agxaxx+4＝2241axxax.于是()gx≤2441xxx＝2(21)xx≤0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即　f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，1212()()4fxfxxx.　　请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点.E（Ⅰ）证明：ABE∽△ADC;（Ⅱ）若ABC的面积12SADAE，求BAC的大小.证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以ABADAEAC，即AB·AC＝AD·AE.又S＝12AB·ACsin∠BAC，且S＝12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知P为半圆C：cossinxy（为参数，0≤≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π3.（Ⅰ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标;（Ⅱ）求直线AM的参数方程.解：(Ⅰ)由已知，M点的极角为π3，且M点的极径等于π3，故点M的极坐标为(π3,π3)(Ⅱ)M点的直角坐标为(π3π,66),A(l,0)，故直线AM的参数方程为π1(1).63.6xtyt(t为参数).(24)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知a,b,c均为正数，证明：a2+b2+c2+2111abc≥63，并确定a,b,c为何值时，等号成立.证明：(证法一)因为a,b,c均为正数，由平均值不等式得a2+b2+c2≥233()abc①111abc≥133()abc所以2111abc≥239()abc.②故a2+b2+c2+2111abc≥233()abc239()abc又233()abc239()abc≥22763，③所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当22333()9()abcabc时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=143时,原式等号成立.(证法二)因为a,b,c均为正数,由基本不等式a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bcc2+a2≥2ac.所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理222111abc≥111abbcac②故a2+b2+c2+(111abc)2≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac≥63.③所以原不等式成立当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=143时,原式等号成立.