高考试题(辽宁卷)——数学文科+(答案解析版)

出处:老师板报网 时间:2023-03-31

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2010年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供文科考生使用)解析校对、解析人:辽宁大连瓦房店市高级中学:虞政华QQ:897107879第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)已知集合1,3,5,7,9U,1,5,7A,则UCA(A)1,3(B)3,7,9(C)3,5,9(D)3,9解析:选D.在集合U中,去掉1,5,7,剩下的元素构成.UCA(2)设,ab为实数,若复数121iiabi,则(A)31,22ab(B)3,1ab(C)13,22ab(D)1,3ab解析:选A.1231122iabiii,因此31,22ab.(3)设nS为等比数列na的前n项和,已知3432Sa,2332Sa,则公比q(A)3(B)4(C)5(D)6解析:选B.两式相减得,3433aaa,44334,4aaaqa.(4)已知0a,函数2()fxaxbxc,若0x满足关于x的方程20axb,则下列选项的命题中为假命题的是(A)0,()()xRfxfx(B)0,()()xRfxfx(C)0,()()xRfxfx(D)0,()()xRfxfx解析:选C.函数()fx的最小值是0()()2bffxa等价于0,()()xRfxfx,所以命题C错误.(5)如果执行右面的程序框图,输入6,4nm,那么输出的p等于(A)720(B)360(C)240(D)120解析:选B.13456360.p(6)设0,函数sin()23yx的图像向右平移43个单位后与原图像重合,则的最小值是(A)23(B)43(C)32(D)3解析:选C.由已知,周期243,.32T(7)设抛物线28yx的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,如果直线AF斜率为3,那么PF(A)43(B)8(C)83(D)16解析:选B.利用抛物线定义,易证PAF为正三角形,则4||8sin30PF(8)平面上,,OAB三点不共线,设,OAaOBb,则OAB的面积等于(A)222()abab(B)222()abab(C)2221()2abab(D)2221()2abab解析:选C.2222111()||||sin,||||1cos,||||1222||||OABabSabababababab2221()2abab(9)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(A)2(B)3(C)312(D)512解析:选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上,设其方程为:22221(0,0)xyabab,则一个焦点为(,0),(0,)FcBb一条渐近线斜率为:ba,直线FB的斜率为:bc,()1bbac,2bac220caac,解得512cea.(10)设25abm,且112ab,则m(A)10(B)10(C)20(D)100解析:选A.211log2log5log102,10,mmmmab又0,10.mm(11)已知,,,SABC是球O表面上的点,SAABC平面,ABBC,1SAAB,2BC,则球O的表面积等于(A)4(B)3(C)2(D)解析:选A.由已知,球O的直径为22RSC,表面积为244.R(12)已知点P在曲线41xye上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是(A)[0,4)(B)[,)42(C)3(,]24(D)3[,)4解析:选D.2441212xxxxxeyeeee,12,10xxeye,即1tan0,3[,)4第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。(13)三张卡片上分别写上字母E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为。解析:填13题中三张卡片随机地排成一行,共有三种情况:,,BEEEBEEEB,概率为:1.3(14)设nS为等差数列{}na的前n项和,若36324SS,,则9a。解析:填15.316132332656242SadSad,解得112ad,91815.aad(15)已知14xy且23xy,则23zxy的取值范围是.(答案用区间表示)解析:填(3,8).利用线性规划,画出不等式组1423xyxyxyxy表示的平面区域,即可求解.(16)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为.解析:填23画出直观图:图中四棱锥PABCD即是,所以最长的一条棱的长为23.PB三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)在ABC中,abc、、分别为内角ABC、、的对边,且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)若sinsin1BC,试判断ABC的形状.解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得Abccbacos2222PDCBA故120,21cosAA(Ⅱ)由(Ⅰ)得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sinsinCB,得21sinsinCB因为900,900CB,故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。(18)(本小题满分12分)为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做实验,将这200只家兔随机地分成两组。每组100只,其中一组注射药物A,另一组注射药物B。下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。(疱疹面积单位:2mm)(Ⅰ)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;(Ⅱ)完成下面22列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。附:22()()()()()nadbcKabcdacbd解:(Ⅰ)图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间,而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间,所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。(Ⅱ)表3疱疹面积小于270mm疱疹面积不小于270mm合计注射药物A70a30b100注射药物B35c65d100合计10595200n56.2495105100100)30356570(20022K由于828.102K,所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.(19)(本小题满分12分)如图,棱柱111ABCABC的侧面11BCCB是菱形,11BCAB(Ⅰ)证明:平面1ABC平面11ABC;(Ⅱ)设D是11AC上的点,且1//AB平面1BCD,求11:ADDC的值.解:(Ⅰ)因为侧面BCC1B1是菱形,所以11BCCB又已知BBCBABACB1111,且所又CB1平面A1BC1,又CB1平面AB1C,所以平面CAB1平面A1BC1.(Ⅱ)设BC1交B1C于点E,连结DE,则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线,因为A1B//平面B1CD,所以A1B//DE.又E是BC1的中点,所以D为A1C1的中点.即A1D:DC1=1.(20)(本小题满分12分)设1F,2F分别为椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点,过2F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60,1F到直线l的距离为23.(Ⅰ)求椭圆C的焦距;(Ⅱ)如果222AFFB,求椭圆C的方程.解:(Ⅰ)设焦距为2c,由已知可得1F到直线l的距离323,2.cc故所以椭圆C的焦距为4.(Ⅱ)设112212(,),(,),0,0,AxyBxyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx联立2222422223(2),(3)4330.1yxabybybxyab得解得221222223(22)3(22),.33babayyabab因为22122,2.AFFByy所以即2222223(22)3(22)2.33babaabab得223.4,5.aabb而所以故椭圆C的方程为221.95xy(21)(本小题满分12分)已知函数2()(1)ln1fxaxax.(Ⅰ)讨论函数()fx的单调性;(Ⅱ)设2a,证明:对任意12,(0,)xx,1212|()()|4||fxfxxx.解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+),2121()2aaxafxaxxx.当a≥0时,()fx>0,故f(x)在(0,+)单调增加;当a≤-1时,()fx<0,故f(x)在(0,+)单调减少;当-1<a<0时,令()fx=0,解得x=12aa.当x∈(0,12aa)时,()fx>0;x∈(12aa,+)时,()fx<0,故f(x)在(0,12aa)单调增加,在(12aa,+)单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)单调减少.所以1212()()4fxfxxx等价于12()()fxfx≥4x1-4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则1()2agxaxx+4=2241axxax.于是()gx≤2441xxx=2(21)xx≤0.从而g(x)在(0,+)单调减少,故g(x1)≤g(x2),即 f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2,故对任意x1,x2∈(0,+),1212()()4fxfxxx.  请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点.E(Ⅰ)证明:ABE∽△ADC;(Ⅱ)若ABC的面积12SADAE,求BAC的大小.证明:(Ⅰ)由已知条件,可得∠BAE=∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.(Ⅱ)因为△ABE∽△ADC,所以ABADAEAC,即AB·AC=AD·AE.又S=12AB·ACsin∠BAC,且S=12AD·AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE.则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°.(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知P为半圆C:cossinxy(为参数,0≤≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧AP的长度均为π3.(Ⅰ)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;(Ⅱ)求直线AM的参数方程.解:(Ⅰ)由已知,M点的极角为π3,且M点的极径等于π3,故点M的极坐标为(π3,π3)(Ⅱ)M点的直角坐标为(π3π,66),A(l,0),故直线AM的参数方程为π1(1).63.6xtyt(t为参数).(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+2111abc≥63,并确定a,b,c为何值时,等号成立.证明:(证法一)因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得a2+b2+c2≥233()abc①111abc≥133()abc所以2111abc≥239()abc.②故a2+b2+c2+2111abc≥233()abc239()abc又233()abc239()abc≥22763,③所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当22333()9()abcabc时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=143时,原式等号成立.(证法二)因为a,b,c均为正数,由基本不等式a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bcc2+a2≥2ac.所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理222111abc≥111abbcac②故a2+b2+c2+(111abc)2≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac≥63.③所以原不等式成立当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=143时,原式等号成立.
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