2010年高考数学试题分类汇编--立体几何+(答案解析)

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2010年高考数学试题分类汇编——立体几何（2010浙江理数）（6）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（A）若lm，m，则l（B）若l，lm//，则m（C）若l//，m，则lm//（D）若l//，m//，则lm//解析：选B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题（2010全国卷2理数）（11）与正方体1111ABCDABCD的三条棱AB、1CC、11AD所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥SABCD中，23SA，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1（B）3（C）2（D）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（2010陕西文数）8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是[B]（A）2（B）1（C）23（D）13解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为122121（2010辽宁文数）（11）已知,,,SABC是球O表面上的点，SAABC平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O的表面积等于（A）4（B）3（C）2（D）解析：选A.由已知，球O的直径为22RSC，表面积为244.R（2010辽宁理数）(12)(12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是(A)（0,62）(B)（1,22）(C)(62,62）(D)（0,22）221【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=3，SD=21a，则有21a<2+3，即22843(62)a，即有a<62(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;综上分析可知a∈（0,62）（2010全国卷2文数）（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个【解析】D：本题考查了空间想象能力∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（A）34(B)54(C)74(D)34【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角ABCSEF形边长3，∴3AE，AS=3，∴SE=23，AF=32，∴3sin4ABF（2010江西理数）10.过正方体1111ABCDABCD的顶点A作直线L，使L与棱AB,AD,1AA所成的角都相等，这样的直线L可以作A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。（2010安徽文数）（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372（B）360（C）292（D）2809.B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。2(10810282)2(6882)360S.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。（2010重庆文数）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个（B）恰有3个（C）恰有4个（D）有无穷多个解析：放在正方体中研究,显然，线段1OO、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，所以排除A、B、C，选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等（2010浙江文数）（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）3523cm3（B）3203cm3（C）2243cm3（D）1603cm3解析：选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题（2010山东文数）(4)在空间，下列命题正确的是A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行答案：D（2010北京文数）（8）如图，正方体1111ABCD-ABCD的棱长为2，动点E、F在棱11AB上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，1AE=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关；（B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关；（D）与y有关，与x无关；答案：C（2010北京文数）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：BCDANMO答案：C（2010北京理数）(8)如图，正方体ABCD-1111ABCD的棱长为2，动点E、F在棱11AB上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，1AE=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积　　　（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关　　　（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关　　　（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关　　　（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关答案：D（2010北京理数）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为答案：C（2010四川理数）（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，BCD是平面内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是（A）17arccos25R（B）18arccos25Rw_w_w.k*s5*u.co*m（C）13R（D）415R解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝12w_w_w.k*s5*u.co*mcos∠BAC＝255连结OM，则△OAM为等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝455R，同理AN＝455R，且MN∥CDw_w_w.k*s5*u.co*m而AC＝5R,CD＝R故MN：CD＝AN:ACw_w_w.k*s5*u.co*mMN＝45R，连结OM、ON，有OM＝ON＝R于是cos∠MON＝22217225OMONMNOMON所以M、N两点间的球面距离是17arccos25Rw_w_w.k*s5*u.co*m答案：A（2010广东理数）6.如图1，△ABC为三角形，AA//BB//CC,CC⊥平面ABC且3AA=32BB=CC=AB,则多面体△ABC-ABC的正视图（也称主视图）是6．D．（2010广东文数）（2010福建文数）3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于()A．3B．2C．23D．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为324234，侧面积为3216，选D．【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。（2010全国卷1文数）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)233(B)433(C)23(D)83312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有ABCD11222323Vhh四面体,当直径通过AB与CD的中点时,22max22123h,故ABCDA1B1C1D1Omax433V（2010全国卷1文数）（9）正方体ABCD-1111ABCD中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（A）23（B）33（C）23（D）639.D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC1D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB1//DD1,所以B1B与平面AC1D所成角和DD1与平面AC1D所成角相等,设DO⊥平面AC1D，由等体积法得11DACDDACDVV,即111133ACDACDSDOSDD.设DD1=a,则12211133sin60(2)2222ACDSACADaa,21122ACDSADCDa.所以1312333ACDACDSDDaDOaSa,记DD1与平面AC1D所成角为,则13sin3DODD,所以6cos3.【解析2】设上下底面的中心分别为1,OO；1OO与平面AC1D所成角就是B1B与平面AC1D所成角，111136cos1/32OOOODOD（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱111ABCABC中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等于(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABCABC的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA到D，使得ADAC，则11ADAC为平行四边形，1DAB就是异面直线1BA与1AC所成的角，又三角形1ADB为等边三角形，0160DAB（2010全国卷1理数）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)233(B)433(C)23(D)833（2010全国卷1理数）（7）正方体ABCD-1111ABCD中，B1B与平面AC1D所成角的余弦值为（A）23（B）33（C）23（D）63（2010四川文数）（12）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，BCD是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是高^考#资*源^网（A）17arccos25R（B）18arccos25R（C）13R（D）415R解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝12cos∠BAC＝255w_ww.k#s5_u.co*m连结OM，则△OAM为等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝455R，同理AN＝455R，且MN∥CD而AC＝5R,CD＝R故MN：CD＝AN:ACMN＝45R，连结OM、ON，有OM＝ON＝R于是cos∠MON＝22217225OMONMNOMON所以M、N两点间的球面距离是17arccos25R答案：A（2010湖北文数）4.用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.A.①②B.②③C.①④D.③④（2010山东理数）(3)在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。1.（2010安徽理数）8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为A、280B、292C、360D、3728.C【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。2(10810282)2(6882)360S.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。2.（2010福建理数）所以EH∥FG，故EH∥FG∥11BC，所以选项A、C正确；因为11AD平面11ABBA，EH∥11AD，所以EH平面11ABBA，又EF平面11ABBA，故EHEF，所以选项B也正确，故选D。【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。