2011届高三一轮测试(文)11导数+答案(通用版)

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导数———————————————————————————————————【说明】　本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷　(选择题　共60分)题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　　)A．1　　　　　　　　B．－1C．±1D．32．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值个数是(　　)A．2B．1C．0D．与a值有关3．曲线y＝x2－3x上在点P处的切线平行于x轴，则P的坐标为(　　)A.B.C.D.4．函数y＝x3－3x2－9x＋14的单调区间为(　　)A．在(－∞，－1)和(－1,3)内单调递增，在(3，＋∞)内单调递减B．在(－∞，－1)内单调递增，在(－1,3)和(3，＋∞)内单调递减C．在(－∞，－1)和(3，＋∞)内单调递增，在(－1,3)内单调递减D．以上都不对5．若曲线C：y＝x3－2ax2＋2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a的值等于(　　)A．－2B．0C．1D．－16．函数f(x)＝ax2－b在(－∞，0)内是减函数，则a、b应满足(　　)A．a＜0且b＝0B．a＞0且b∈RC．a＜0且b≠0D．a＜0且b∈R7．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为(　　)A．y＝－3xB．y＝－2xC．y＝3xD．y＝2x8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为(　　)A．2B．4C．18D．209．若函数f(x)、g(x)在区间[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，f(a)＝g(a)，则在[a，b]上有(　　)A．f(x)＜g(x)B．f(x)＞g(x)C．f(x)≥g(x)D．f(x)≤g(x)10．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜11．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为(　　)A.B.C.D.12．已知函数f(x)是定义在R上的函数，如果函数f(x)在R上的导函数f′(x)的图象如图，则有以下几个命题：(1)f(x)的单调递减区间是(－2,0)、(2，＋∞)，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)、(0,2)；(2)f(x)只在x＝－2处取得极大值；(3)f(x)在x＝－2与x＝2处取得极大值；(4)f(x)在x＝0处取得极小值．其中正确命题的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分二171819202122得分二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知拋物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1,1)，且在点(2，－1)处的切线的斜率为1，则a，b，c的值分别为________．14．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间为(－9,0)，则m＝________.15．已知实数a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32，则实数a的值为________．16．已知点P(2,2)在曲线y＝ax3＋bx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，则函数f(x)＝ax3＋bx，x∈的值域为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．(1)求a的值和切线l的方程；(2)设曲线y＝f(x)上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围．18．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数，又f′＝.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[0，m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a(a，b∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点．(1)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值；(2)当a＞0时，求函数f(x)的极值．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a、b、c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．21．(本小题满分12分)设a为实常数，函数f(x)＝－x3＋ax2－4.(1)若函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线的倾斜角为，求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x0∈(0，＋∞)，使f(x0)＞0，求a的取值范围．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x3－ax2＋b2x＋1(a、b∈R)．(1)若a＝1，b＝1，求f(x)的极值和单调区间；(2)已知x1，x2为f(x)的极值点，且|f(x1)－f(x2)|＝|x1－x2|，若当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒小于m，求m的取值范围．卷(十一)一、选择题1．C　由于f′(x)|x＝x0＝3x＝3，∴x0＝±1.2．C　因f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，∴f(x)为增函数，无极值点．3．B　y′＝2x－3，令y′＝0.即2x－3＝0，得x＝.代入曲线方程y＝x2－3x，得y＝－.4．C　y′＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)，令y′＞0得x＜－1或x＞3，故增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．令y′＜0得－1＜x＜3，故减区间为(－1,3)．5．C　k＝y′＝3x2－4ax＋2a.由题设3x2－4ax＋2a＞0恒成立，∴Δ＝16a2－24a＜0，∴0＜a＜，又a为整数，∴a＝1.故选C.6．B　f′(x)＝2ax，x＜0且f′(x)＜0，∴a＞0且b∈R.7．A　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，∵f′(x)是偶函数，∴3(－x)2＋2a(－x)＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，解得a＝0，那么k＝f′(0)＝－3，切线方程为y＝－3x.故选A.8．D　f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0得x＝±1.当0≤x＜1时，f′(x)＜0；当1≤x≤3时，f′(x)＞0.则f(1)最小，又f(0)＝－a，f(3)＝18－a，又f(3)＞f(0)，∴最大值为f(3)，即M＝f(3)，N＝f(1)⇒M－N＝f(3)－f(1)＝(18－a)－(－2－a)＝20.9．C　设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(a)＝f(a)－g(a)＝0.F′(x)＝f′(x)－g′(x)＞0，∴F(x)在给定的区间[a，b]上是增函数．∴当x≥a时，F(x)≥F(a)，即f(x)－g(x)≥0，f(x)≥g(x)．10．A　因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2.令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－.不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.11．D　设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0；∴当x＝时，V取最大值．12．C　由图知，当x＜－2或0＜x＜2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜0或x＞2时，f′(x)＜0，所以(1)、(3)、(4)正确．二、填空题13．【解析】　因为y＝ax2＋bx＋c分别过点(1,1)和点(2，－1)，所以a＋b＋c＝1，①4a＋2b＋c＝－1，②又y′＝2ax＋b，所以y′|x＝2＝4a＋b＝1，③由①②③可得a＝3，b＝－11，c＝9.【答案】　3，－11,914．【解析】　f′(x)＝3x2－2mx.令f′(x)＜0，则3x2－2mx＜0，由题意得，不等式解集为(－9,0)，∴－9,0是方程3x2－2mx＝0的两个根．∴－9＋0＝－，∴m＝－.【答案】　－15．【解析】　f(x)＝ax3－4ax2＋4ax，所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x－2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝2.因为f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32.而当x＝2时，f(2)＝0，所以当x＝时，f(x)有极大值32.即a2＝32，a＝27.【答案】　2716．【解析】　依题意，y′＝3ax2＋b，则，解得a＝1，b＝－3.所以f′(x)＝3x2－3，x∈，由f′(x)＝3x2－3＞0解得x＜－1或x＞1，所以f(x)在上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，所以[f(x)]max＝f(3)＝18，[f(x)]min＝f(1)＝－2，所以f(x)的值域为[－2,18]．【答案】　[－2,18]三、解答题17．【解析】　(1)由题设知kl＝－1，所以方程f′(x)＝x2－4x＋a＝－1有两个等根，即Δ＝16－4(a＋1)＝0.解得a＝3.此时，由方程x2－4x＋4＝0，结合已知解得切点为.所以切线l的方程为y－＝－(x－2)，即3x＋3y－8＝0.(2)设曲线y＝f(x)上任一点(x，y)处的切线的斜率为k(由题意知k存在)，则由(1)，知k＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1.由正切函数的单调性，知θ的取值范围为∪.18．【解析】　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由已知f′(0)＝f′(1)＝0，即解得∴f′(x)＝3ax2－3ax，∴f′＝－＝，∴a＝－2，∴f(x)＝－2x3＋3x2.(2)令f(x)≤x，即－2x3＋3x2－x≤0，∴x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤或x≥1.又f(x)≤x在区间[0，m]上恒成立，∴0＜m≤.19．【解析】　f(x)＝x3－x2＋bx＋a，f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b由f′(0)＝0得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)．(1)存在x＜0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，∴a≤－7，当且仅当x＝－3时，a＝－7.所以a的最大值为－7.(2)当a＞0时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，a＋1)a＋1(a＋1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值f(x)的极大值f(0)＝a＞0，f(x)的极小值f(a＋1)＝a－(a＋1)320．【解析】　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②由①、②解得a＝2，b＝－4.由于l上的切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝.x[－3，－2)－2f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13.在x＝处取得极小值f＝.又f(－3)＝8，f(1)＝4.∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.21．【解析】　(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.根据题意f′(1)＝tan＝1，∴－3＋2a＝1，即a＝2.∴f′(x)＝－3x2＋4x＝－3x.故f′(x)＞0，得x＜0，即0＜x＜；故f′(x)＜0，得x＞0，即x＜0或x＞.∴f′(x)的单调递增区间是，单调递减区间是(－∞，0)，.(2)f′(x)＝－3x.①若a≤0，当x＞0时，f′(x)＜0，从而f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又f(0)＝－4，则当x＞0时，f(x)＜－4.∴当a≤0时，不存在x0＞0，使f(x0)＞0.②当a＞0，则当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0.从而f(x)在上单调递增，在上单调递减．∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)max＝f＝－＋－4＝－4.据题意，－4＞0，即a3＞27，∴a＞3.故a的取值范围是(3，＋∞)．22．【解析】　(1)f(x)＝－x3－x2＋x＋1，f′(x)＝－3x2－2x＋1＝－(3x－1)(x＋1).x(－∞，－1)－1(－1，)(，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)减极小值0增极大值减f(x)的极大值为，极小值为0.f(x)的单调增区间为，单调减区间为(－∞，－1)，.(2)∵f(x)＝－x3－ax2＋b2x＋1，∴f′(x)＝－3x2－2ax＋b2，又x1，x2为f(x)的极值点，∴x1，x2为方程－3x2－2ax＋b2＝0的两根，x1＋x2＝－，x1x2＝－，∵|f(x1)－f(x2)|＝|x1－x2|，∴|－x－ax＋b2x1＋1＋x＋ax－b2x2－1|＝|x1－x2|，整理得|x＋x1x2＋x＋a(x1＋x2)－b2|＝，即＝，∴a2＋3b2＝1，∴a2≤1.∵k＝f′(x)＝－3x2－2ax＋b2＝－3x2－2ax＋，f′(x)max＝f′＝，∴m＞.