2011届高三一轮测试（理）3数列(2)+答案（通用版）

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数　列—————————————————————————————————————【说明】　本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷　(选择题　共60分)题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设数列{an}的通项公式an＝f(n)是一个函数，则它的定义域是(　　)A．非负整数　　　　　　B．N*的子集C．N*D．N*或{1,2,3，…，n}2．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y－6＝0上，则a3－a5＋a7的值为(　　)A．27B．6C．81D．93．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于(　　)A．1B．2C．3D．44．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n(n－1)，则该数列是(　　)A．公比为2的等比数列B．公比为的等比数列C．公差为2的等差数列D．公差为4的等差数列5．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是(　　)A．10秒钟B．13秒钟C．15秒钟D．20秒钟6．数列{an}的前n项和Sn＝3n－c，则“c＝1”是“数列{an}为等比数列”的(　　)A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝(　　)A．2B．4C．6D．88．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝，则a2010＝(　　)A．－2B．－C．－D．39．在函数y＝f(x)的图象上有点列{xn，yn}，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为(　　)A．f(x)＝2x＋1B．f(x)＝4x2C．f(x)＝log3xD．f(x)＝x10．若数列{an}的通项公式为an＝1＋(n∈N*)，{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y的值为(　　)A．5B．6C．7D．811．在等差数列{an}中，＜－1，若它的前n项和Sn有最大值，则下列各数中是Sn的最小正数的是(　　)A．S17B．S18C．S19D．S2012．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于(　　)A．126B．130C．132D．134第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分二171819202122得分二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.14．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.15．若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知数列{}为“调和数列”，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x3x18的最大值是________．16．已知Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④S13＞0中真命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}中，a2＝9，a5＝21.(1)求{an}的通项公式；(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.18．(本小题满分12分)已知数列{an}，an∈N*，前n项和Sn＝(aa＋2)2.(1)求证：{an}是等差数列；(2)若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．19.(本小题满分12分)某市2008年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市流感病毒新感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日为止，该市在这30日内该病毒新感染者共有8670人，问11月几日，该市新感染此病毒的人数最多？并求这一天的新感染人数．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}、{Bn}、{Cn}，其中An(n，an)、Bn(n，bn)、Cn(n－1,0)满足：向量AnAn＋1与共线，且点列{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上，a1＝a，b1＝－a.(1)试用a与n表示an(n≥2)；(2)若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围．21.(本小题满分12分)已知数列{an}，a1＝1，an＝λan－1＋λ－2(n≥2)．(1)当λ为何值时，数列{an}可以构成公差不为零的等差数列？并求其通项公式；(2)若λ＝3，令bn＝an＋，求数列{bn}的前n项和Sn.22．(本小题满分12分)已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋1＜0恒成立，试求m的取值范围．答案：一、选择题1．D2．A　由题意得an－an－1－6＝0，即an－an－1＝6，得数列{an}是等差数列，且首项a1＝3，公差d＝6，而a3－a5＋a7＝a7－2d＝a5＝a1＋4d＝3＋4×6＝27.3．C　由S1，S2，S4成等比数列，∴(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)．∵d≠0，∴d＝2a1.∴＝＝＝3.4．D　由条件可得n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n(n－1)－2(n－1)(n－2)＝4(n－1)，当n＝1时，a1＝S1＝0，代入适合，故an＝4(n－1)，故数列{an}表示公差为4的等差数列．5．C　设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式有na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15，故选C.6．C　数列{an}的前n项和Sn＝3n－c，且c＝1，则an＝2×3n－1(n≥1)，从而可知c＝1是数列{an}为等比数列的充要条件，故选C项．7．B　因为ak是a1与a2k的等比中项，则a＝a1a2k，[9d＋(k－1)d]2＝9d·[9d＋(2k－1)d]，又d≠0，则k2－2k－8＝0，k＝4或k＝－2(舍去)．8．B　由条件可得：a1＝－2，a2＝－，a3＝，a4＝3，a5＝－2，…，即{an}是以4为周期的周期数列，所以a2010＝a2＝－，故选B.9．D　结合选项，对于函数f(x)＝x上的点列{xn，yn}，有yn＝xn.由于{xn}是等差数列，所以xn＋1－xn＝d，因此＝＝xn＋1－xn＝d，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．10．C　由函数f(n)＝1＋(n∈N*)的单调性知，a1＞a2＞a3，且a4＞a5＞a6＞…＞0，又a1＝，a2＝，a3＝－1，a4＝3，故a3为最小项，a4为最大项，x＋y的值为7.11．C　∵等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，∴a1＞0，且d＜0，由＜－1得a10＞0，a11＜－a10，即a10＋a11＜0，∴S20＝10(a1＋a20)＜0，S19＝19a10＞0，又由题意知当n≥11时，an＜0，∴n≥11时，Sn递减，故S19是最小的正数．12．C　由题意可知，lga3＝b3，lga6＝b6.又∵b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6.即q＝10－2，∴a1＝1022.又∵{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且d＝－2，b1＝22.故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.又∵n∈N*，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.二、填空题13．【解析】　设等比数列的公比为q，则由S6＝4S3知q≠1，∴S6＝＝.∴q3＝3.∴a1q3＝3.【答案】　314．【解析】　|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝153.【答案】　15315．【解析】　因为数列{}为“调和数列”，所以xn＋1－xn＝d(n∈N*，d为常数)，即数列{xn}为等差数列，由x1＋x2＋…＋x20＝200得＝＝200，即x3＋x18＝20，易知x3、x18都为正数时，x3x18取得最大值，所以x3x18≤()2＝100，即x3x18的最大值为100.【答案】　10016．【解析】　解答本题要灵活应用等差数列性质．由已知条件即a6＞0，a7＜0，a6＋a7＞0，因此d＜0，①正确；S11＝11a6＞0②正确；S12＝＝＞0，故③错误；S13＝＝12a7＜0，故④错误，故真命题的序号是①②.【答案】　①②三、解答题17．【解析】　(1)设数列{an}的公差为d，由题意得解得a1＝5，d＝4，∴{an}的通项公式为an＝4n＋1.(2)由an＝4n＋1得bn＝24n＋1，∴{bn}是首项为b1＝25，公比q＝24的等比数列．∴Sn＝＝.18．【解析】　(1)证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝(an＋1＋2)2－(an＋2)2，∴8an＋1＝(an＋1＋2)2－(an＋2)2，∴(an＋1－2)2－(an＋2)2＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0.∵an∈N*，∴an＋1＋an≠0，∴an＋1－an－4＝0.即an＋1－an＝4，∴数列{an}是等差数列．(2)由(1)知a1＝S1＝(a1＋2)，解得a1＝2.∴an＝4n－2，bn＝an－30＝2n－31，由得≤n＜.∵n∈N*，∴n＝15，∴{an}前15项为负值，以后各项均为正值．∴S5最小．又b1＝－29，∴S15＝＝－22519．【解析】　设第n天新感染人数最多，则从第n＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n天流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列，其前n项和Sn＝20n＋×50＝25n2－5n(1≤n＜30，n∈N)，而后30－n天的流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20＋(n－1)×50－30＝50n－60，公差为－30，项数为30－n的等差数列，其前30－n项的和T30－n＝(30－n)(50n－60)＋×(－30)＝－65n2＋2445n－14850，依题设构建方程有，Sn＋T30－n＝8670，∴25n2－5n＋(－65n2＋2445n－14850)＝8670，化简得n2－61n＋588＝0，∴n＝12或n＝49(舍去)，第12天的新感染人数为20＋(12－1)·50＝570人．故11月12日，该市新感染此病毒的人数最多，新感染人数为570人．20．【解析】　(1)AnAn＋1＝(1，an＋1－an)，＝(－1，－bn)．因为向量AnAn＋1与向量共线，则＝，即an＋1－an＝bn.又{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上，有＝6，即bn＋1－bn＝6.所以bn＝－a＋6(n－1)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝a＋3(n－1)(n－2)－a(n－1)＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(n≥2)．(2)二次函数f(x)＝3x2－(9＋a)x＋6＋2a的图象是开口向上，对称轴为x＝拋物线．又∵在a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，故对称轴x＝在内，即＜＜，∴24＜a＜36.21．【解析】　(1)a2＝λa1＋λ－2＝2λ－2，a3＝λa2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2，∵a1＋a3＝2a2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)，得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝.当λ＝时，a2＝2×－2＝1，a1＝a2，故λ＝不合题意舍去；当λ＝1时，代入an＝λan－1＋λ－2可得an－an－1＝－1，∴数列{an}构成首项为a1＝1，公差为－1的等差数列，∴an＝－n＋2.(2)由λ＝3可得，an＝3an－1＋3－2，即an＝3an－1＋1.∴an＋＝3an－1＋，∴an＋＝3，即bn＝3bn－1(n≥2)，又b1＝a1＋＝，∴数列{bn}构成首项为b1＝，公比为3的等比数列，∴bn＝×3n－1＝，∴Sn＝＝(3n－1)．22．【解析】　(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.∴a2＋a4＝20.∴解之得，或又{an}单调递增，∴q＝2，a1＝2，∴an＝2n，(2)bn＝2n·log2n＝－n·2n，∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n①－2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1②①－②得，Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1由Sn＋(n＋m)an＋1＜0，即2n＋1－2－n·2n＋1＋n·2n＋1＋m·2n＋1＜0对任意正整数n恒成立，∴m·2n＋1＜2－2n＋1.对任意正整数n，m＜－1恒成立．∵－1＞－1，∴m≤－1.即m的取值范围是(－∞，－1]．