2012年普通高等学校招生全国统一考试(预测卷1) 数学(文科)试卷+参考答案

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（预测卷1）数学（文科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的表面积公式：S=24R，其中R表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题列出的四个选项只有一项是最符合题目要求的）1.已知集合|1Mxx，|21xNx，则MNA.B.|01xxC.|0xxD.|1xx2.已知a，Rb，是虚数单位，且(2)1aibi，则(1)abi的值为A.4B.-4C.44iD.2i3.一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是A.①②B.②③C.③④D.①④4.在ABC中，“AB”是“coscosAB”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234eeee、、、，其大小关系为A.1243eeeeB.1234eeeeC.2134eeeeD.2143eeee6.下列命题正确的是()A．函数)32sin(xy在区间)6,3(内单调递增B．函数xxy44sincos的最小正周期为2②①④③3侧视图主视图222C．函数)3cos(xy的图像是关于点)0,6(成中心对称的图形D．函数)3tan(xy的图像是关于直线6x成轴对称的图形7.已知命题p：函数221()2xfxe在区间(0,)上单调递减；q：双曲线22145xy的左焦点到抛物线24yx的准线的距离为2.则下列命题正确的是A.pqB.qpC.()pqD.q8.正项等比数列{na}的公比q≠1，且2a，321a，1a成等差数列，则5443aaaa的值为A.215或215B.215C.215D.251　　9.科研室的老师为了研究某班学生数学成绩x与英语成绩y的相关性，对该班全体学生的某次期末检测的数学成绩和英语成绩进行统计分析，利用相关系数公式12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy计算得0.001r，并且计算得到线性回归方程为ybxa，其中121()()()niiiniixxyybxx，aybx．由此得该班全体学生的数学成绩x与英语成绩y相关性的下列结论正确的是A．相关性较强且正相关B．相关性较弱且正相关C．相关性较强且负相关D．相关性较弱且负相关10.一个三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、6、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为A.16B.32C.36D.6411.已知(),()fxgx都是定义在R上的函数，()0gx，()()()()fxgxfxgx，且()()xfxagx(0a，且1)a，(1)(1)5(1)(1)2ffgg．若数列(){}()fngn的前n项和大于62，则n的最小值为A.6B.7C.8D.912.设1212,,,aaabbb，定义一种向量积12121122,,,abaabbabab.已知12,,,023mn，点P（x，y）在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f(x)的图象上运动，且满足OQmOPn（其中O为坐标原点），则y=f(x)的最大值为A.1B.3C.5D.21第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知变量xy，满足约束条件20170xyxxy，则yx的取值范围是.14.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．15.已知6,1m，6,1n，则函数3213ymxnx在[1,)上为增函数的概率是____________16.以下是对命题“若两个正实数12,aa满足22121aa，则122aa”的证明过程：结束输出S否是S=2S+1A≤MA=A+1开始A=1，S=1证明：构造函数2221212()()()22()1fxxaxaxaax，因为对一切实数x，恒有()0fx，所以0，从而得2124()80aa，所以122aa．根据上述证明方法，若n个正实数满足222121naaa时，你能得到的结论为.（不必证明）三、解答题（本大题有8小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在ABC中，abc、、分别为角ABC、、的对边，且满足222bcabc.（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若3a，设角B的大小为,xABC的周长为y，求()yfx的最大值.18.（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等。（1）求取出的两个球上标号全邻整数的概率；（2）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，底面ABC为等腰直角三角形，90B，D为棱1BB上一点，且平面1DAC平面11AACC.（Ⅰ）求证：D点为棱1BB的中点；（Ⅱ）判断四棱锥CDCBA111和ABDAC1的体积是否相等，并证明。20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221(0)xyabab的长轴为AB，过点B的直线与x轴垂直．直线(2)(12)(12)0()kxkykkR所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率32e.（1）求椭圆的标准方程；（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PHx轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HPPQ，连结AQ延长交直线于点M，N为MB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．21.（本小题满分12分）已知函数axxxxf1ln)(，其中a为大于零的常数.（Ⅰ）若函数),1[)(在区间xf内调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）求函数)(xf在区间],1[e上的最小值；（Ⅲ）对于函数1)()(xexpxg，若存在],1[0ex，使不等式00ln)(xxg成立，求实数xyMNQPHlOBp的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．（Ⅰ）求证：DCDODMDT；（Ⅱ）若60DOT，试求BMC的大小．23．（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy内，点),(yxP在曲线C：(sin,cos1yx为参数，R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为0)4cos(．（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求ABM面积的最大值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲关于x的不等式lg(|3||7|)xxm.（Ⅰ）当1m时，解此不等式；（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(xxxf，当m为何值时，mxf)(恒成立？参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.B2.D3.B4.C5.A6.D7.A8.C9.B10.A11.A12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.9[6]5，14.515.-316.12naaan三、解答题（本大题有8小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（Ⅰ）在ABC中，由222bcabc及余弦定理得2221cos22bcaAbc…2分而0A，则3A；……………4分（Ⅱ）由3,3aA及正弦定理得32sinsinsin32bcaBCA，……6分同理)32sin(sinsinxCAac……………8分∴3)6sin(323)32sin(2sin2xxxy………………10分∵320,3xA∴)65,6(6x，∴62x即3x时，max33y。…………………12分18.（Ⅰ）当12pq时，～13,2B.--------------------------3分故13322Enp，113131224Dnpp.---------6分（Ⅱ）的可取值为0,1,2,3.2214(0)(1)(1)3327P213222222221212(1)(1)(1)(1)()2()()3333333327PC；1222211219(2)(1)(1)()33333327PC；2212(3)()3327P--------------------10分的分布列为0123A1C1B1ACBMDHP42712279272274129240123272727273E----------------------12分19.（1）过点D作1DEAC于E点，取AC的中点F，连,BFEF。面1DAC面11AACC且相交于1AC，面1DAC内的直线1DEAC，DE面11AACC。……3分又面BAC面11AACC且相交于AC，且ABC为等腰三角形，易知BFAC，BF面11AACC。由此知：//DEBF，从而有,,,DEFB共面，又易知1//BB面11AACC，故有//,DBEF从而有1,//EFAA又点F是AC的中点，所以111122DBEFAABB，所以D点为棱1BB的中点.………………………………………6分（2）（法一）面11AABB面ABC，面ABC面11,,AABBABBCAB，BC面1AADB，延长1AD交AB的延长线于点M，过B作1BHAD交1AD于点H，连结CH，则1CHAD，CHB为二面角1AADC的平面角，且60CHB，……………9分设12,,AAbABBCa由①易知,BDbBMa，则22BDBMabBHDMab，222tan3,2BCabCHBabBHaab，122AAbABa……………12分（法二）建立如图所示直角坐标系，设12,AAbABBCa，则10,0,,,0,2,0,,0DbAabCa，所以1,0,,0,,,DAabDCab……………8分设面1DAC的法向量为,,nxyz，则0000axybzxaybz可取,,nbba又可取平面1AADB的法向量0,,0mBCa，cos,nmnmnm222002bbaabaa222bba…………………………………10分据题意有：22122bba，解得：22ba所以122AAbABa……………………………………………………12分20.（1）将(2)(12)(12)0kxkyk整理得(22)210xykxy解方程组220210xyxy得直线所经过的定点（0，1），所以1b．由离心率32e得2a．所以椭圆的标准方程为2214xy．------------------------------------------4分（2）设00,Pxy，则220014xy．∵HPPQ，∴00,2Qxy．∴220022OQxy∴Q点在以O为圆心，2为半径的的圆上．即Q点在以AB为直径的圆O上．……6分又2,0A，∴直线AQ的方程为00222yyxx．令2x，得0082,2yMx．又2,0B，N为MB的中点，∴0042,2yNx．……8分∴00,2OQxy，000022,2xyNQxx．∴2200000000000000004242222222xxxyxyOQNQxxyxxxxxxx0000220xxxx．∴OQNQ．∴直线QN与圆O相切．--------------------------------------------------------12分21.（1）任取x]1,0[，,aeeeae1)x(f]0,1[x2xx-2x-，则x又f(x)是偶函数，故.aee)x(ff(x)[0,1]xx2x时，…………2分由f(x)是定义域为]1,1[的偶函数可知，f(x)在[0,1]x的最大值即可为f(x)的最大值.当时，[0,1]x4a)2at()t(h)x(f],e,1[et22x令;aee)1(f)e(h)x(f1ea,21e2a2max时，即;a1)0(f)1(h)x(f1ea,21e2amax时，即…………5分综上可知：.1)0()(1ea)1()(1max2maxafxfaeefxfea时，；时，…………6分另解：由f(x)是定义域为]1,1[的偶函数可知，f(x)在[0,1]x的最大值即可为f(x)的最大值.当时，[0,1]x.aeef(x)x2x)2(aee2(x)fx2x\'aeexx当.]10[)x(f,0)x(f0a\'单调递增，在区间故恒大于时，此时aeefxf2max)1()(…当2alnx0)2((x)f0a\'aeexx，时①当，时时，可得，即0)x(f]1,0[x2a002aln\'.]10[)x(f单调递增，在区间故此时aeefxf2max)1()(②当，时，时时，可得即0)x(f]1,2aln[x0)x(f]2aln,0[x2ea2,12aln0\'\'.]12aln[.]2aln0[)x(f单调递增，在区间单调递减，在区间可知;a1f(0)(x)f2ea1e;aeef(1)(x)f1ea21;eaf(0)f(1)max2max时时故又③，时时，可得即0)x(f]1,0[x2ea,12aln\'.]10[)x(f单调递减，在区间可知此时afxf1)0()(max…………7分综上可知：.1)0()(1ea)1()(1max2maxafxfaeefxfea时，；时，（3）)]()[32()(22xfeaxaxxgx=))(32(222xxxaeeeaxax=xxeaaxxaeaxax)32()32(22…9分要时，]1,0[x函数)(xg的图象恒在直线y=e上方，即时，]1,0[xexg)(min成立，…………10分)(\'xg()(3)(1)xfxxaxe，令)(\'xg=0，解得123,1xax①当，时时，可得且，即0)x(g]1,0[x0a-3a03-a-\'.]10[)x(g单调递减，在区间故此时.0a3a,3ae)a2()1(g)(gin矛盾且与exm…………11分②当，时，时时，可得即0)x(g]1,3--a[x0)x(g,]3--a,0[x3a4-,13--a0\'\'.]13--a[.]3-a-0[)x(f单调递减，在区间单调递增，在区间可知此时exg)(mine)1(g,e)0(g且,-3ae)1(g,23-e-ae32a)0(g又故3a4-时可满足题意；…………12分③，时时，可得即0)x(g]1,0[x-4a,13-a-\'.]10[)x(g单调递增，在区间可知此时.4a.4a,23-e-ae32)0(g)(gin时可满足题意故又axm…13分综上可知：时，3a)(xg的图象恒在直线y=e上方，…………14分（1）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理DMDTDN2，DADBDN2，得DADBDMDT，设半径OB=)0(rr，因BD=OB，且BC=OC=2r，则233rrrDADB，23232rrrDCDO，所以.DCDODMDT（2）由（1）可知，DCDODMDT，且CDMTDO，故DTO∽CMD，所以DMCDOT；根据圆周角定理得，DMB2DOT，则.30BMC23．解：（1）消去参数，得曲线C的标准方程：.1)1(22yx由0)4cos(得：0sincos，即直线的直角坐标方程为：.0yx（2）圆心)0,1(到直线的距离为22111d，则圆上的点M到直线的最大距离为122rd（其中r为曲线C的半径），2)22(12||22AB．设M点的坐标为),(yx，则过M且与直线垂直的直线l方程为：01yx，则联立方程011)1(22yxyx，解得22122yx，或22122yx，经检验22122yx舍去．故当点M为)22,122(时，ABM面积的最大值为max)(ABMS.212)122(22124．解：（1）当1m时，原不等式可变为0|3||7|10xx，可得其解集为{|27}.xx（2）设|3||7|txx，则由对数定义及绝对值的几何意义知100t，因xylg在),0(上为增函数，则1lgt，当7,10xt时，1lgt，故只需1m即可，即1m时，mxf)(恒成立．