2011届高考数学押题卷+答案（文理合卷2）

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A2011届高考数学仿真押题卷——四川卷（文理合卷2）第Ⅰ卷一．选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合11,lg(2)MyyxxNxyx，则NMðR为（）A．B．MC．ND．{2}2．（理）已知,xyRR，i为虚数单位，且[(2)i+](1i)20081004ixy，则1i1ixy的值为（）A．20102B．-1C．2008+2008iD．20102i（文）已知数列{}na的前n项和是(0nnSama且1)a，那么“数列{}na是等比数列”的充要条件是（）A．1mB．1mC．1mD．m为任意实数3．已知圆C与直线0xy及40xy都相切，圆心在直线0xy上，则圆C的方程为A．22(1)(1)2xyB．22(1)(1)2xyC．PFPAD．22(1)(1)2xy4．设()fx是函数()fx的导函数,()yfx的图象如图所示，则()yfx的图象最有可能的是5．若函数22()cos()sin()yabxabxxR的值恒等于2，则点(,)ab关于原点对称的点的坐标是（）A．（2,0）B．（-2,0）C．（0，-2）D．（-1,1）6．在长方体1111ABCDABCD中，11,3AAADDC，则直线1AC与11DC所成的角的正切值为（）O12xyxyyO12yO12xO12xABCDO12xyABCDEA．33B．233C．36D．2237．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点,,,,ABCDE染上红，黄，绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不同，则不同的染色方法共有（）A．30种B．27种C．24种D．21种8．已知,,ABC是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式1[(1)(1)3OPOAOB(12)](OCR且0)，则P的轨迹一定通过ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点9．已知函数2()1(1)fxx，若1201xx，则（）A．1212()()fxfxxxB．1212()()fxfxxxC．1212()()fxfxxxD．无法判断11()fxx与22()fxx的大小10．定义：若数列{}na为任意的正整数n，都有1(nnaadd为常数)，则称{}na为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”．已知“绝对和数列”{}na中，12a，绝对公和为3，则其前2009项的和2009S的最小值为（）A．-2009B．-3010C．-3014D．302811．已知12,FF分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左，右焦点，M为双曲线上除顶点外的任意一点，且12FMF的内切圆交实轴于点N，则12||||FNNF的值为（）A．2bB．2aC．2cD．22aba12．函数()fx的定义域为D，若对于任意12,xxD，当12xx时，都有12()()fxfx，则称函数()fx在D上为非减函数．设函数()fx在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f②1()()32xffx③(1)1()fxfx则11()()38ff等于()A．34B．12C．1D．23第Ⅱ卷二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．31nxxx的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n等于；系数最大的项是第项．14．若数列{}na满足112,(1)2nnanana，则数列{}na的通项公式na．15．（理）若函数321()3fxxax满足：对任意12,[0,1]xx都有12()()1fxfx恒成立，则a的取值范围是．（文）过曲线2(0)xyaa上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是．16．（理）已知s是正实数，如果不等式组：00xysxyy表示的区域内存在一个半径为1的圆，则s的最小值为．（文）tan18tan42tan120tan18tan42tan60．三．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,,abc且1cos2aCcb．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若1a，求ABC的周长l的取值范围．18．（本小题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11AACC底面ABC，112,AAACACABBC,且ABBC,O为AC中点．（Ⅰ）证明：1AO平面ABC；（Ⅱ）求直线1AC与平面1AAB所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC上是否存在一点E，使得//OE平面1AAB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．ABC60第18题图1ABCOA1B1C第19题图20．（本小题满分12分）如图，设抛物线21:4(0)Cymxm的准线与x轴交于1F，焦点为2F；以12,FF为焦点，离心率12e的椭圆2C与抛物线1C在x轴上方的交点为P，延长2PF交抛物线于点Q，M是抛物线1C上一动点，且M在P与Q之间运动．（Ⅰ）当1m时，求椭圆2C的方程；（Ⅱ）当12PFF的边长恰好是三个连续的自然数时，求MPQ面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知数列{}nx满足14x，21324nnnxxx．（Ⅰ）求证：3nx；（Ⅱ）求证：1nnxx；（Ⅲ）求数列{}nx的通项公式．MyXQOPPyxQ第20题图22．（本小题满分12分）已知函数1ln()xfxx．（Ⅰ）若函数在区间1(,)2aa（其中0a）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当1x时，不等式()1kfxx恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证22(1)(1)()nnnen！N．参考答案一：1-5D（理）B（文）ABCB6-10BADCB11-12AA二：13．【答案】：9514．【答案】：4n-215．【答案】：（理）2323,33（文）22a16．【答案】：（理）222（文）-1三：17．解：（Ⅰ）由1cos2aCcb得1sincossinsin2ACCB…1分又sinsinsincoscossinBACACAC…3分1sincossin2CAC，sin0C，1cos2A，又0A3A…5分（Ⅱ）由正弦定理得：sin2sinsin3aBbBA，2sin3cC…7分221sinsin1sinsin33labcBCBAB3112sincos22BB12sin6B,3A20,,3B5,666B1sin,162B故ABC的周长l的取值范围为2,3．…10分（Ⅱ）另解：周长l1abcbc由（Ⅰ）及余弦定理2222cosabcbcA221bcbc22()1313()2bcbcbc2bc又12bcalabc即ABC的周长l的取值范围为2,3．…10分18．解：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C．则111(),(),()632PAPBPC．…3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．111()()632PPAPB…6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．…7分111(0)224PX；111(30)2233PX；11115(60)2263318PX；111(90)2369PX；111(120)6636PX．…10分所以，随机变量X的分布列为：…12分其数学期望115110306090120404318936EX．…12分19．解：（Ⅰ）证明：因为11AAAC，且O为AC的中点，所以1AOAC．…1分又由题意可知，平面11AACC平面ABC，交线为AC，且1AO平面11AACC，所以1AO平面ABC．…4分（Ⅱ）如图，以O为原点，1,,OBOCOA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知，112,AAACAC又,ABBCABBC;P0306090120X141351819136112OBAC．所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,0,3),(0,1,0),(0,2,3),(1,0,0)OAACCB则有：11(0,1,3),(0,1,3),(1,1,0).ACAAAB设平面1AAB的一个法向量为(,,)xyzn，则有103000AAyzxyABnn，令1y，得31,3xz所以3(1,1,)3n．…6分11121cos,7|||ACACACnn|n．因为直线1AC与平面1AAB所成角和向量n与1AC所成锐角互余，所以21sin7．…8分（Ⅲ）设0001(,,),,ExyzBEBC即000(1,,)(1,2,3)xyz，得000123xyz所以(1,2,3),E得(1,2,3),OE…10分令//OE平面1AAB，得=0OEn，即120,得1,2即存在这样的点E，E为1BC的中点．…12分20．解：（Ⅰ）当1m时，24yx，则12(1,0),(1,0)FF设椭圆方程为22221(0xyabab），则1,c又12cea，所以22,3ab所以椭圆C2方程为22143xy…4分（Ⅱ）因为cm，12cea，则2am，223bm，设椭圆方程为2222143xymm1ABCOA1B1Cxyz第19题图由222221434xymmymx，得22316120xmxm…6分即(6)(32)0xmxm，得23Pmx代入抛物线方程得263pym，即226(,)33mmP212557,24333pmmmPFxmPFaPFm，12623mFFm，因为12PFF的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m…8分此时抛物线方程为212yx，(2,26)P，直线PQ方程为：26(3)yx．联立226(3)12yxyx，得2213180xx，即(2)(29)0xx，所以92Qx，代入抛物线方程得36Qy，即9(,36)2Q∴22925(2)(2636)22PQ．设2(,)12tMt到直线PQ的距离为d，(36,26)t则2266666675()3022241ttdt…10分当62t时，max675563024d，即MPQ面积的最大值为12556125622416．…12分21．解：(Ⅰ)证明：用数学归纳法证明1）当1n时，143x．所以结论成立．2）假设(1)nkn时结论成立,即3nx,则2213(3)3302424nnnnnxxxxx．所以13nx．即1nk时,结论成立．由1)2)可知对任意的正整数n，都有3nx．…4分（Ⅱ）证明：221343(1)(3)242424nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx．因为3nx，所以(1)(3)024nnnxxx，即10nnxx．所以1nnxx．…8分（Ⅲ）解：2213(1)112424nnnnnxxxxx，2213(3)332424nnnnnxxxxx，所以21111()33nnnnxxxx．又111413343xx，所以133111log2log33nnnnxxxx．…10分又1311log13xx，令31log3nnnxax，则数列{}na是首项为1,公比为2的等比数列．所以12nna．由31log3nnnxax，得133nannxx．所以11121231313131nnnnanax．…12分22．解：（Ⅰ）因为1ln()xfxx，0x，则ln()xfxx，…1分当01x时，()0fx；当1x时，()0fx．所以()fx在（0，1）上单调递增；在(1,)上单调递减，所以函数()fx在1x处取得极大值．…2分因为函数()fx在区间1(,)2aa（其中0a）上存在极值，所以1,112aa解得11.2a…4分（Ⅱ）不等式()1kfxx，即为(1)(1ln),xxkx记(1)(1ln)(),xxgxx所以22[(1)(1ln)](1)(1ln)ln(),xxxxxxxgxxx…6分令()ln,hxxx则1()1hxx，1,()0.xhx()hx在[1,)上单调递增，min[()](1)10hxh，从而()0gx故()gx在[1,)上也单调递增，min[()](1)2gxg，所以2k…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：2()1fxx恒成立，即122ln11,11xxxxx令(1)xnn，则2ln[(1)]1(1)nnnn，所以2ln(12)1,122ln(23)1,232ln(34)1,34………………2ln[(1)]1(1)nnnn．叠加得：22ln[123…211(1)]2[1223nnn…1](1)nn112(1)2211nnnnn…10分则22123…22(1)nnne，所以22(1)(1)()nnnen！N…12分