2012年普通高等学校招生全国统一考试(预测卷2) 数学(文科)试卷+参考答案

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（预测卷2）数学（文科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的表面积公式：S=24R，其中R表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．已知全集},2|{},2|{,NnnxxBNnxxARUn与集合，则正确表示集合BA、关系的韦恩（Venn）图是2．在复平面内，复数21i对应的点到直线1yx的距离是A．22B．2C．2D．223．下列有关选项正确的是A．若qp为真命题，则pq为真命题.B．“5x”是“2450xx”的充分不必要条件.C．命题“若1x，则2230xx”的否命题为：“若1x，则2320xx”.D．已知命题p：Rx，使得210xx，则p：Rx，使得210xx.4．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角60°，则|3|ab等于（）A．7B．10C．13D．45．若}{na为等差数列，nS是其前n项和，且32211S，则6tana的值为A．3B．3C．3D．336．已知区域1,{(,)0,}1,yxxyyx，1,{(,)}0,yxMxyy，向区域内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为A．41B．31C．21D．32327．一个正三棱柱的主（正）视图是长为3，宽为2的矩形，则它的外接球的表面积等于A．16B．12C．8D．48．已知实数,xy满足153xy，则2zxy的最小值是A．10B．3C．3D．109．某程序流程框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数，xxfxxf32cos)(,32sin)(，,34tan)(xxf则可以输出的函数是)(xf=A．xxf32sin)(B．xxf32cos)(C．xxf34tan)(D．非上述函数10．在空间中，下列命题正确的是A.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B.若直线m与平面内的一条直线平行，则//mC.若平面，且l，则过内一点P与垂直的直线垂直于平面D.若直线a与直线b平行，且直线al，则bl11.过抛物线xy42的焦点F作相互垂直的两条弦AB和CD，则||||CDAB的最小值是A．58B．16C．8D．712．设函数fx在R上的导函数为\'fx，且22\'fxxfxx，下面的不等式在R上恒成立的是A．0fxB．0fxC．fxxD．fxx第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知函数为无理数，为有理数，x0x1)(xf，则关于x的不等式0)1()()]1()([2xfxfxxfxfx的解集为_______________14．在ABC中，,120,ABCABBC则以BA,为焦点且过点C的双曲线的离心率为15．某大学艺术系表演专业的报考人数连创新高，报名刚结束，某考生想知道这次报考该专业的人数．已知该专业考生的考号是从0001，0002，…这样从小到大顺序依次排列的，他随机了解了50个考生的考号，经计算，这50个考号的和是25025，估计2010年报考这所大学艺术表演专业的考生大约为人．16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　　三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（本小题满分12分）ABCDEGF已知函数)3sin()6sin(2)(xωxωxf（其中为正常数，Rx）的最小正周期为．（I）求的值；（II）在△ABC中，若BA，且21)()(BfAf，求ABBC．18．（本小题满分12分）今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数0.785等．东北育才中学高一某班同学打算利用寒假在和平区的7个小区内选择两个小区逐户进行一次生活习惯的调查以计算每个人的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少%75的人属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的这7个小区中低碳族的比例分别为21，97，32，1311，107，2017，2419．（1）求这个班级选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（2）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为21，数据如图甲所示，经过班级同学的大力宣传，经过两个月后，又进行了一次调查，数据如图乙所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准．19．（本小题满分12分）如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ACAB,DGED,EF∥DG．且2DGDEADAB,1EFAC．O月排放量（百千克）频率组距0.420.230.10.0712345（乙）O月排放量（百千克）频率组距0.30.250.20.150.0512345（甲）6（Ⅰ）求证：BF∥平面ACGD；（Ⅱ）求五面体ABCDEFG的体积．20．（本题满分12分）已知函数),(3)(23Rbaxbxaxxf，在点))1(,1(f处的切线方程为02y．（1）求函数)(xf的解析式；（2）若对于区间]2,2[上任意两个自变量的值21,xx，都有cxfxf|)()(|21，求实数c的最小值；（3）若过点)2)(,2(mmM，可作曲线)(xfy的三条切线，求实数m的取值范围．21.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为21，点(2,3)M，(2,3)N为C上两点，斜率为12的直线与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧）．w（I）求四边形MANB面积的最大值；（II）设直线AM，BM的斜率为21,kk，试判断21kk是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（I）求AC的长；（II）求证：BE＝EF．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程是)(242222是参数ttytx，圆C的极坐标方程为)4cos(2．（I）求圆心C的直角坐标；（II）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．24．（本小题10分）选修4－5：不等式选讲已知关于x的不等式：12mx的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，解不等式：mxx31．参考答案二、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.A2.D3.B4.A5.B6.C7.C8.D9.B10.D11.B12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.}1{14.21315.100016.83a三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解：（1）∵2)3(cos)6sin(2)3sin()6sin(2)(xωxωxωxωxf)6cos()6sin(2xωxω)32sin(xω．……………4分而)(xf的最小正周期为，为正常数，∴ω22，解之，得1．………………………6分（2）由（1）得)32sin()(xxf．若x是三角形的内角，则x0，∴35323x．令21)(xf，得21)32sin(x，∴632x或6532x，解之，得4x或127x．………………………8分由已知，BA,是△ABC的内角，BA且21)()(BfAf，∴4A，127B∴6BAC．……………10分又由正弦定理，得221226sin4sinsinsinCAABBC．………12分18．解：（I）由题可知，7个小区中有三个小区为“非低碳小区”，设为CBA,,，有四个小区为“低碳小区”，设为qpnm,,,，用),(yx表示选定的两个小区qpnmCBAyx,,,,,,,则基本事件空间)},)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,{(qpqnpnqmpmnmqCpCnCmCqBpBnBmBCBqApAnAmACABA……2分共有基本事件数21个设事件A：两个小区恰有一个为“非低碳小区”，则),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(qCpCnCmCqBpBnBmBqApAnAmAA包含的基本事件数为12…………4分则742112)(AP…………………6分（II）由图甲可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”，…………9分由图乙可知，两个月后的低碳族的比例为75.072.042.023.007.0，所以两个月后小区A仍然没达到“低碳小区”标准。…………12分19.解：设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以MF//DE，且MF＝DE又∵AB//DE，且AB＝DE∴MF//AB，且MF＝AB∴四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM，又BF平面ACGD故BF//平面ACGD……………6分（利用面面平行的性质定理证明，可参照给分）（Ⅱ）ABC-DEFGV多面体＝ADM-BEFABC-MFGVV三棱柱三棱柱+＝ADMMFGDESADS△△＝1122122122＝4．……………12分20.解：（1）323)(2bxaxxf………………1分根据题意，得,0)1(,2)1(ff即,0323,23baba解得.0,1ba.3)(3xxxf………………3分（2）令33)(2xxf0，解得1x(1)2,(1)2ff，2)2(,2)2(ff[2,2]x当时，maxmin()2,()2.fxfx……………5分则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值12,xx，都有12maxmin|()()||()()|4fxfxfxfx所以4.c所以c的最小值为4。………………6分（Ⅲ）设切点为300000(,),3xyyxx则200()33fxx，切线的斜率为2033.x则3200003332xxmxx即32002660xxm，……………8分因为过点(2,)(2)Mmm，可作曲线()yfx的三条切线所以方程32002660xxm有三个不同的实数解即函数32()266gxxxm有三个不同的零点，………………9分则2()612.gxxx令()0,02.gxxx解得或x(,0)0（0，2）2（2，+∞）()gx+0-0+()gx极大值极小值………………10分0)2(0)0(gg即0206mm，∴26m………………12分21.解：（I）21e，设椭圆1342222cycx，带入)3,2(M，得2c，所以椭圆C的方程为2211612xy………………2分设直线的方程为12yxm()mR，),(),,(2211xxByxA游mxyyx211121622，得01222mmxx则mxx21,12221mxxww------4分又212121211||||||()422MANBSMNxxMNxxxx=2348621m显然当0m时,MANBS=123------6分（II）设直线MA、MB的方程分别为1(2)3ykx（5）2(2)3ykx（1,2kR）将（5）代入（4）得：222211111(1612)(9664)64192480kxkkxkk则211121641924821612kkxk211121824643kkxk------8分2211112211824612129(,)4343kkkkAkk同理：2222222222824612129(,)4343kkkkBkk2211222212122211221222121212912129434318246824624343ABkkkkyykkkkkkkxxkk--10分化简得：2212kk12kk12kk即021kk为定值。……………………12分22.解：（I）1,2,2PCPAPDPCPA，4PD，又2,1CEEDPC，,,CABPCACBAPACCBAPAC∽，ABACACPC，22ABPCAC，2AC…………5分（II）2ACBE，2CE，而EFBEEDCE，2212EF，BEEF．…………10分23.解：（I）sin2cos2，sin2cos22，02222yxyxC的直角坐标方程为圆，即1)22()22(22yx，)22,22(圆心直角坐标为．…………5分（II）方法1：直线上的点向圆C引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222ttttt，∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是62…………10分方法2：024yxl的普通方程为直线，圆心C到l直线距离是52|242222|，∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是621522…………10分24.解：（I）1|2|mx由，得2121mxm不等式的整数解为2，21221mm53m又不等式仅有一个整数解2，4m4分（II）即解不等式4|3||1|xx，.当1x时，不等式1340xxx，不等式解集为}0|{xx当13x时，不等式为134xxx，不等式解为当3x时，134xx4x，不等式解集为}4|{xx综上，不等式解为,04,10分