2012届高考数学(理科)考前60天冲刺《空间向量和立体几何》

《2012届高考数学(理科)考前60天冲刺《空间向量和立体几何》》是由用户上传到老师板报网，本为文库资料，大小为2.71 MB，总共有37页，格式为doc。授权方式为VIP用户下载，成为老师板报网VIP用户马上下载此课件。文件完整，下载后可编辑修改。

2012届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】空间向量与立体几何专练1．如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.(I)证明：OF//平面；(II)求三棱锥的体积.2．如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC，63BD，E是PB上任意一点．(1)求证：ACDE；(2)当AEC面积的最小值是9时，证明EC平面PAB．3．如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．（1）求证：BC⊥PC；（2）求证：EF//平面PDC；（3）求三棱锥B—AEF的体积。4．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；ABCEDM·4222左视图俯视图CABDPE5．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，030BAC，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．（I）证明：EM⊥BF；（II）求平面BEF与平面ABC所成的二面角的余弦值．6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中90ADBCABC，∥°，PD平面ABCD，AD1，3AB，4BC．⑴求证：BDPC；(2)设点E在棱PC上，PEPC，若DE∥平面PAB，求的值.2,ABEC2AEBE,O为AB的中点.（Ⅰ）求证：EO平面ABCD；（Ⅱ）求点D到面AEC的距离．9．在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．(1)求证：OD∥平面PAC；(2)求证：PO⊥平面ABC；(3)求三棱锥P－ABC的体积．APECDB11如图所示,三棱柱111ABCABC中,12ABACAA,平面1ABC平面11AACC,又11160AACBAC,1AC与1AC相交于点O.(Ⅰ)求证:BO平面11AACC;(Ⅱ)求1AB与平面11AACC所成角的正弦值;12.如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，90BACACD，AE∥CD，22DCACAE.[（Ⅰ）求证：平面BCD平面ABC;（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅲ）求四面体BCDE的体积.13．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；15．如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF．（1）求证：PC⊥面AEF；（2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G）,求多面体P—AEFG的体积。ABCEDM·4222左视图俯视图ABCA1C1OB116.如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．（1）证明：AD平面PBC；（2）求三棱锥DABC的体积；（3）在ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．侧（左）视图正（主）视图PDCBA22222244418.侧（左）视图正（主）视图PDCBA22222244417.已知在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，GFE,,分别是BCPCPD,,的中点．（I）求平面EFG平面PAD；（II）若M是线段CD上一点，求三棱锥EFGM的体积．18.如图，在梯形ABCD中，//ABCD，2CBDCAD，30CAB，ABCDEMF（第20题）H四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，3CF．（Ⅰ）求证：BC平面ACFE；（Ⅱ）设点M为EF中点，求二面角CAMB的余弦值．19.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，090DEF．（Ⅰ）求证：BE//平面ADF；（Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB=3，EF=23，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为3？21.已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为2．M为线段PC的中点．(Ⅰ)求证：PA∥平面MDB；(Ⅱ)N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．22．如图，已知直四棱柱1111DCBAABCD，底面ABCD为菱形，120DAB，E为线段1CC的中点，F为线段1BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）当1DDAD的比值为多少时，DF平面EBD1，并说明理由．1111,,EFDEBDBDEBEFDBF面面,1DFDEB平面．23.如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．ABCDEFABDCMPN(第20题)D1BF1A1DE1CABC24.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC，63BD，E是PB上任意一点。（1）求证：ACDE；（2）当AEC面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在？求出BG的值，若不存在，请说明理由25.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC，63BD，E是PB上任意一点。（1）求证：ACDE；（2）当AEC面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在？求出BG的值，若不存在，请说明理由26.如图：在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BC⊥A1D；(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.27．如图的几何体中，AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，22ADDEAB，F为CD的中点．（1）求证：//AF平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE.28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．30.如图，已知矩形ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直，2AB，1AF，M是线段EF的中点。BAEDCF(1)求异面直线CM与直线AB所成的角的大小；(2)求多面体EFABCD的表面积。31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。（1）求证：CE⊥平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积32.如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为60的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体．（1）求证：平面PAB平面PCD；（2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．33.如图，在直三棱柱111CBAABC中，BAC90°,1AAABAC,E是BC的中点.（Ⅰ）求异面直线AE与CA1所成的角；BCPDAADBCPE图2PBACDFE（Ⅱ）若G为CC1上一点，且CAEG1，求二面角EAGA1的大小.解法一：（Ⅰ）∴异面直线AE与CA1所成的角为3.……………………………6分（Ⅱ）∴所求二面角EAGA1为5arctan.34.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC，63BD，E是PB上任意一点。（1）求证：ACDE；（2）当AEC面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在？求出BG的值，若不存在，请说明理由35.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，3AD,点F是PB的中点，点E在边BC上移动。⑴求三棱锥E-PAD的体积；⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。36．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=45。（I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥C—PAB的体积答案1．如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.(I)证明：OF//平面；(II)求三棱锥的体积.解：（I）四边形ABCD为菱形且ACBDO，O是BD的中点.....................2分又点F为1DC的中点,在1DBC中，1//BCOF,...................................4分OF平面11BCCB，1BC平面11BCCB,//OF平面11BCCB...........6分（II）四边形ABCD为菱形,ACBD,又BD1AA，1,AAACA且1,AAAC平面11ACCA,BD平面11ACCA,BD平面ABCD,平面ABCD平面11ACCA.......................8分在平面1AC内过1A作1AMACM于，则1AMABCD平面，1AAM是1AA与底面所成的角，160AAM.................................10分在1RtAAM中,11sin6023AMAA，故三棱锥1CBCD底面BCD上的高为23，又1sin6032BCDSBCCD，所以，三棱锥1CBCD的体积113232.33BCDVSh.2．如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC，63BD，E是PB上任意一点．(1)求证：ACDE；(2)当AEC面积的最小值是9时，证明EC平面PAB．.解：（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F。因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD。又因为PD平面ABCD，AC平面PDBE为PB上任意一点，DE平面PBD，所以ACDE-------------------------------7分（2）连ED．由（I），知AC平面PDB，EF平面PBD，所以ACEF．1,2ACESACEF在ACE面积最小时，EF最小，则EFPB．19,692ACESEF，解得3EF-------------------10分由PBEF且PBAC得PB平面,AEC则PBEC，又由3EFAFFC得ECAE，而PBAEE，故EC平面PAB--3．如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．（1）求证：BC⊥PC；（2）求证：EF//平面PDC；（3）求三棱锥B—AEF的体积。解证：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形∴BCDC又PD面ABCD,BC面ABCD∴BCPD,又PDDC=D∴BC面PDC从而BCPC--------------------４分CABDPE（Ⅱ）取PC的中点G，连结EG，GD，则.//21//DFGEBCEG，所以∴四边形EFGD是平行四边形。∴EF//GD,又，平面PDCEF　　PDCDG平面∴EF//平面PDC．…………………---------------------８分（Ⅲ）取BD中点O，连接EO，则ＥO//PD，∵PD⊥平面ABCD，　∴EO⊥底面ABCD，1EO31124131312OESVVABFABFEAEFB------------12分4．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；(Ⅰ)∵EA平面ABC,∴EAAB,又ABAC,∴AB平面ACDE………………6分∵M为BD的中点，　∴MG∥CD且MG＝CD,于是MG∥AE,且MG＝AE,所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG,∴EM∥平面ABC5．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，030BAC，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．（I）证明：EM⊥BF；（II）求平面BEF与平面ABC所成的二面角的余弦值．90EMF，即EMMF（也可由勾股定理证得）．MFBMM，EM平面MBF．而BF平面MBF，EMBF．………………………………………………………………………………6分（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CHBG，连结FH．由（1）知FC平面ABC，BG平面ABC，FCBG．而FCCHC，BG平面FCH．FH平面FCH，FHBG，FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．……………………8分在RtABC中，30BAC，4AC，sin303BMAB．由13FCGCEAGA，得2GC．GCCHBGBM，则23123GCBMCHBG．FCH是等腰直角三角形，45FHC．平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为22．6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中90ADBCABC，∥°，PD平面ABCD，AD1，3AB，4BC．⑴求证：BDPC；(2)设点E在棱PC上，PEPC，若DE∥平面PAB，求的值.（1）证明：由题意知23,DC则222BCDBDCBDDC=，，PDABCDBDPDPDCDD面而，，，..BDPDCPCPDCBDPC面在面内，-------------6分（2）过D作DF//AB交BC于F连结EF，∵DF∥AB，∴DF∥平面PAB.又∵DE∥平面PAB，∴平面DEF∥平面PAB，∴EF∥AB.又∵1,4,1,ADBCBF∴1,4PEBFPCBC∴14PEPC，即1.4-7．图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.(I)证明：OF//平面；(II)求三棱锥的体积.解：（I）四边形ABCD为菱形且ACBDO，O是BD的中点.....................2分又点F为1DC的中点,在1DBC中，1//BCOF,...................................4分APECDBOF平面11BCCB，1BC平面11BCCB,//OF平面11BCCB...........6分（II）四边形ABCD为菱形,ACBD,又BD1AA，1,AAACA且1,AAAC平面11ACCA,BD平面11ACCA,BD平面ABCD,平面ABCD平面11ACCA.......................8分在平面1AC内过1A作1AMACM于，则1AMABCD平面，1AAM是1AA与底面所成的角，160AAM.................................10分在1RtAAM中,11sin6023AMAA，故三棱锥1CBCD底面BCD上的高为23，又1sin6032BCDSBCCD，所以，三棱锥1CBCD的体积113232.33BCDVSh8.已知四棱锥EABCD的底面为菱形，且60ABCo，2,ABEC2AEBE,O为AB的中点.（Ⅰ）求证：EO平面ABCD；（Ⅱ）求点D到面AEC的距离．（I）证明：连接CO2,2AEEBABQAEBV为等腰直角三角形QO为AB的中点,1EOABEO……………………2分又,60ABBCABCoQACBV是等边三角形3CO，………………………………4分又2,EC222ECEOCO，即EOCOEOABCD平面……………………6分（II）设点D到面AEC的距离为h2,2AEACECQ72AECSV…………8分Q3ADCSV,E到面ACB的距离1EODAECEADCVVQAECADCShSEOVV………………………………10分2217h点D到面AEC的距离为22179．在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．(1)求证：OD∥平面PAC；(2)求证：PO⊥平面ABC；(3)求三棱锥P－ABC的体积．（1）,OD分别为,ABPB的中点，∴OD∥PA又PA平面PAC，OD平面PAC∴OD∥平面PAC．………………………4分（2）如图，连结OC2ACCB，O为AB中点，2AB,∴OC⊥AB，1OC．同理,PO⊥AB，1PO．………………6分又2PC,∴2222PCOCPO,∴90POC．∴PO⊥OC．PO⊥OC,PO⊥AB，ABOCO,PO⊥平面ABC．…………………………………………………………………8分（3）由（2）可知OP垂直平面ABC∴OP为三棱锥PABC的高，且1OP11112113323PABCABCVSOP．11如图所示,三棱柱111ABCABC中,12ABACAA,平面1ABC平面11AACC,又11160AACBAC,1AC与1AC相交于点O.(Ⅰ)求证:BO平面11AACC;(Ⅱ)求1AB与平面11AACC所成角的正弦值;【解】(Ⅰ)由题知12ACAA,1160AAC,所以11AAC为正三角形,所以12AC,………………1分又因为2AB,且160BAC所以1BAC为正三角形,………………………2分又平行四边形11AACC的对角线相交于点O,所以O为1AC的中点,所以1BOAC…………………………3分又平面1ABC平面11AACC,且平面1ABC平面11AACC1AC,…………4分且BO平面1BAC………………………………5分所以BO平面11AACC…………………………6分(Ⅱ)〖解法一〗连结1AB交1AB于E,取1AO中点F,连结EF,AF,则EFBO,又BO平面11AACC所以EF平面11AACC,EFAF,……7分所以直线1AB与平面11AACC所成角为EAF.…………8分而在等边1BAC中,2AB,所以3BO,32EF,同理可知,1133,2AOAF,在1AAF中,222111172cos304AFAAAFAAAF………………10分所以RtEFA中,22102AEEFAF,30sin10EFEAFAE.所以1AB与平面11AACC所成角的正弦值为3010.……………12分〖解法二〗由于11BBCC,1BB平面11AACC,所以1BB平面11AACC,……7分所以点1B到平面11AACC的距离即点B到平面11AACC的距离,由BO平面11AACC,所以1B到平面11AACC的距离即BO,…………………8分也所以1AB与平面11AACC所成角的正弦值为1sinBOAB,…………………9分而在等边1BAC中,2AB,所以3BO,同理可知,13AOOC,所以226BCBOOC,116BC………10分又易证1OC平面1BAC,所以OCBC,也所以11OCBC,22111110ABBCAC………………………11分所以1330sin1010BOAB即1AB与平面11AACC所成角的正弦值为3010.12.如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，90BACACD，AE∥CD，22DCACAE.[（Ⅰ）求证：平面BCD平面ABC;（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅲ）求四面体BCDE的体积.解：（Ⅰ）∵面ABC面ACDE，面ABC面ACDEAC，CDAC,∴DC面ABC，2分又∵DC面BCD，∴平面BCD平面ABC.4分（Ⅱ）取BD的中点P，连结EP、FP，则FP12DC,又∵EA12DC，∴EAFP，6分∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，又∵EP面BDE且AF面BDE，∴AF∥面BDE.8分（Ⅲ）∵BAAC，面ABC面ACDE=AC，∴BA面ACDE.∴BA就是四面体BCDE的高，且BA=2.10分∵DC=AC=2AE=2，AE∥DC，∴11(12)23,121,22ACEACDESS梯形∴312,CDES∴1422.33ECDEV13．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；(Ⅰ)∵EA平面ABC,∴EAAB,又ABAC,∴AB平面ACDE………………6分∵M为BD的中点，　∴MG∥CD且MG＝CD,于是MG∥AE,且MG＝AE,所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG,∴EM∥平面ABC.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，2,60ABBAD.(Ⅰ)求证：BD平面;PAC（Ⅱ）若,PAAB求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.（Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=3.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则P（0，—3，2），A（0，—3，0），B（1，0，0），C（0，3，0）.所以).0,32,0(),2,3,1(ACPB设PB与AC所成角为，则4632226||||cosACPBACPB.（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(BC设P（0，－3，t）（t>0），则),3,1(tBP设平面PBC的法向量),,(zyxm,则0,0mBPmBC所以03,03tzyxyx令,3y则.6,3tzx所以)6,3,3(tm同理，平面PDC的法向量)6,3,3(tn因为平面PCB⊥平面PDC,所以nm=0，即03662t解得6t所以PA=6EF=1244BDaSE=52a（10分）10sin10EFESFSE15．如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF．（1）求证：PC⊥面AEF；（2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G）,求多面体P—AEFG的体积。解析：（1）证明：PA⊥面ABCD,BC在面内，∴PA⊥BCBA⊥BC,BC∩BA=B,∴BC⊥面PAB，又∵AE在面PAB内∴BC⊥AEAE⊥PB,BC∩PB=B,,∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC内AE⊥PC,AE⊥PC,AE∩AF=A,∴PC⊥面AEF．………5分（2）PC⊥面AEF,∴AG⊥PC,AG⊥DC∴PC∩DC=CAG⊥面PDC,∵GF在面PDC内∴AG⊥GF△AGF是直角三角形，由（1）可知△AEF是直角三角形，AE=AG=2,EF=GF=36∴33AEFS,33AGFS又AF=362,PF=332∴332AEFGS,∴9433233231AEFGPV16.如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．（1）证明：AD平面PBC；（2）求三棱锥DABC的体积；（3）在ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．侧（左）视图正（主）视图PDCBA22222244418.侧（左）视图正（主）视图PDCBA222222444解：（1）因为PA平面ABC，所以PABC，又ACBC，所以BC平面PAC，所以BCAD．由三视图可得，在PAC中，4PAAC，D为PC中点，所以ADPC，所以AD平面PBC，…………4分（2）由三视图可得4BC，由⑴知90ADC，BC平面PAC，又三棱锥DABC的体积即为三棱锥BADC的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V．…………8分（3）取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得2CQCO，点Q即为所求．OQABCDP因为O为CQ中点，所以PQOD∥，因为PQ平面ABD，OD平面ABD，所以PQ∥平面ABD，连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，所以ACBQ为平行四边形，所以4AQ，又PA平面ABC，所以在直角PAD中，2242PQAPAQ．…………12分17.已知在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，GFE,,分别是BCPCPD,,的中点．（I）求平面EFG平面PAD；（II）若M是线段CD上一点，求三棱锥EFGM的体积．（I）证明：CDPDCDAD,，∴CD平面PAD，………（6分）∵EF//CD，∴EF平面PAD，∵EF平面EFG，∴平面EFG平面PAD；（II）解：∵CD//EF，∴CD//平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离等于D到平面EFG的距离，∴EFGDEFGMVV，221EHEFSEFG，平面EFGH平面PAD于EH，∴D到平面EFG的距离即三角形EHD的高,等于3∴332EFGMV．18.如图，在梯形ABCD中，//ABCD，2CBDCAD，30CAB，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，3CF．（Ⅰ）求证：BC平面ACFE；（Ⅱ）设点M为EF中点，求二面角CAMB的余弦值．(1)证明：60,2ABCCBDCAD则4AB，122AC，则得222BCACABACBC，面ACEF平面ABCD，面ACEF平面ABCDACBC平面ACEF．……7分（II）过C作AMCH交AM于点H，连BH,则CHB为二面角CAMB的平面角，在BHCRT中，13,3HBCH，13133cosCHB，则二面角CAMB的余弦值为13133．19.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，090DEF．（Ⅰ）求证：BE//平面ADF；（Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB=3，EF=23，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为3？解（Ⅰ）过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM．因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM=CD且EM//CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF．——————6分（Ⅱ）由EF=23，EM=AB=3，得FM=3且030MFE．由090DEF可得FD=4，从而得DE=2．————8分因为BCCD，BCFD，所以BC平面CDFE．所以，13FBDEBDEFDEFVVSBC．————10分因为1232DEFSDEEF，3FBDEV，所以32BC．综上，当32BC时，三棱锥F-BDE的体积为3．20.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，090DEF．（Ⅰ）求证：BE//平面ADF；（Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB=3，EF=23，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为3？解（Ⅰ）过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM．因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM=CD且EM//CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF．——————6分（Ⅱ）由EF=23，EM=AB=3，得FM=3且030MFE．由090DEF可得FD=4，从而得DE=2．————8分因为BCCD，BCFD，所以BC平面CDFE．所以，13FBDEBDEFDEFVVSBC．————10分因为1232DEFSDEEF，3FBDEV，所以32BC．综上，当32BC时，三棱锥F-BDE的体积为3．21.已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为2．M为线段PC的中点．(Ⅰ)求证：PA∥平面MDB；(Ⅱ)N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。(Ⅰ)证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得PO＝2，AC＝22，PA＝PC＝2，CO＝AO＝2．因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，又因为AP平面MDB，OM平面MDB，所以PA∥平面MDB．…………6分(Ⅱ)解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．因为M为PC的中点，所以PC⊥BM，同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角，又因为OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝2CPNP，故直线CN与平面BMD所成角的正切值为222．如图，已知直四棱柱1111DCBAABCD，底面ABCD为菱形，120DAB，E为线段1CC的中点，F为线段1BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）当1DDAD的比值为多少时，DF平面EBD1，并说明理由．（Ⅰ）证明：连接1,AC,由题意可知点F为1AC的中点．因为点E为1CC的中点．在1ACC中，EFAC．……………………………………………………………２分又EF面ABCD，ACABCD面，EFABCD面．……………………６分（Ⅱ）当13DDAD时，1DFDEB平面．………………………………………７分四边形ABCD为菱形，且120DAB，3BDAD．四棱柱1111ABCDABCD为直四棱柱，四边形11DBBD为矩形．又13DDAD，1BDDD，四边形11DBBD为正方形，1DFDB……………………10分在直四棱柱1111ABCDABCD中，1DDABCD底面，ACABCD面，D1BF1A1DE1CABC1ACDD四边形ABCD为菱形，ACBD．111DDDBBD面，11,BDDBBD面，1BDDDD，11ACDBBD面．11DFDBBD面，ACDF，又EFAC，EFDF．…………………13分1111,,EFDEBDBDEBEFDBF面面,1DFDEB平面．23.如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．解：(1)证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.(2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.24.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC，63BD，E是PB上任意一点。（1）求证：ACDE；（2）当AEC面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在？求出BG的值，若不存在，请说明理由解：（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F。因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD。又因为PD平面ABCD，AC平面PDBE为PB上任意一点，DE平面PBD，所以ACDE--------------7分（2）连ED．由（I），知AC平面PDB，EF平面PBD，所以ACEF．1,2ACESACEF在ACE面积最小时，EF最小，则EFPB．19,692ACESEF，解得3EF--------------10分由PBEF且PBAC得PB平面,AEC则PBEC，又由3EFAFFC得ECAE，而PBAEE，故EC平面PAB作//GHCE交PB于点G，则GH平面PAB,所以GEH就是EG与平面PAB所成角.在直角三角形CEB中，6,32,32BCECEB所以45CEB，设BGx，则22BHHGx。由tan2GEH得24EHx。由EHHBEB得4x，即4BG--------------14分25.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC，63BD，E是PB上任意一点。（1）求证：ACDE；（2）当AEC面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在？求出BG的值，若不存在，请说明理由解：（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F。因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD。又因为PD平面ABCD，AC平面PDBE为PB上任意一点，DE平面PBD，所以ACDE--------------7分（2）连ED．由（I），知AC平面PDB，EF平面PBD，所以ACEF．1,2ACESACEF在ACE面积最小时，EF最小，则EFPB．19,692ACESEF，解得3EF--------------10分由PBEF且PBAC得PB平面,AEC则PBEC，又由3EFAFFC得ECAE，而PBAEE，故EC平面PAB作//GHCE交PB于点G，则GH平面PAB,所以GEH就是EG与平面PAB所成角.在直角三角形CEB中，6,32,32BCECEB所以45CEB，设BGx，则22BHHGx。由tan2GEH得24EHx。由EHHBEB得4x，即4BG26.如图：在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BC⊥A1D；(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.解：(1)因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O，因为BC⊥CD，A1O∩CD＝O，∴BC⊥面A1CD.因为A1D⊂面A1CD，∴BC⊥A1D.(6分)(2)连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥面A1BC.A1C⊂面A1BC，∴A1D⊥A1C.在Rt△DA1C中，A1D＝3，CD＝5，∴A1C＝4.根据S△A1CD＝A1D·A1C＝A1O·CD，得到A1O＝，在Rt△A1OB中，sin∠A1BO＝＝＝.所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为.(12分)27．如图的几何体中，AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，22ADDEAB，F为CD的中点．（1）求证：//AF平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE.（1）证明：取CE的中点G，连结FGBG、．∵F为CD的中点，∴//GFDE且12GFDE．∵AB平面ACD，DE平面ACD，∴//ABDE，∴//GFAB．又12ABDE，∴GFAB．∴四边形GFAB为平行四边形，则//AFBG．∵AF平面BCE，BG平面BCE，∴//AF平面BCE．…………7分（2）证明：∵ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AFCD∵DE平面ACD，AFACD平面，∴DEAF．∵//BGAF，∴,BGDEBGCD又CDDED，∴BG平面CDE．∵BG平面BCE，∴平面BCE平面CDE．28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．解：(1)几何体的直观图如图．四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其体积V＝×1××＝4分(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.8分(3)当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可得FD∥平面AB1C1，又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.12分30.如图，已知矩形ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直，2AB，1AF，M是线段EF的中点。(1)求异面直线CM与直线AB所成的角的大小；(2)求多面体EFABCD的表面积。解：（1）因为//CDAB，所以CMD即为异面直线CM与AB所成的角（或其补角），……………2分连结MD，在CEM中，1,CEEM所以2CM，又3DEDF，所以222DMDFMF，所以CDM是等边三角形，……………5分所以60CMD，即异面直线CM与AB所成的角为60；……………6分（2）1221,22ABFS……………8分12222DEFS……………10分2ABCDS42422ABFDEFABCDSSSS表。31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。（1）求证：CE⊥平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积【解析】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD.(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CDcos451,CE=CDsin451.又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以ABCDABCEBCDSSS=12ABAECEDE=15121122,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于115513326ABCDSPA32.如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为60的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体．（1）求证：平面PAB平面PCD；（2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．解：（1）证明：ADABPAAB,，又二面角P-AB-D为6060PAD，又AD=2PADAPP有平面图形易知：AB平面APD，又APD平面PD，PDAB，ABPABAP平面,，且AABAPPAB平面PD，又PCD平面PD，平面PAB平面PCD---------7分（2）设E到平面PBC的距离为h，AE//平面PBC所以A到平面PBC的距离亦为h连结AC，则PBCAABCPVV，设PA=23222131=h722131BCPDAADBCPEADBCPE7212h，设PE与平面PBC所成角为7723732sinPEh---------------14分33.如图，在直三棱柱111CBAABC中，BAC90°,1AAABAC,E是BC的中点.（Ⅰ）求异面直线AE与CA1所成的角；（Ⅱ）若G为CC1上一点，且CAEG1，求二面角EAGA1的大小.解法一：（Ⅰ）∴异面直线AE与CA1所成的角为3.……………………………6分（Ⅱ）∴所求二面角EAGA1为5arctan.34.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC，63BD，E是PB上任意一点。（1）求证：ACDE；（2）当AEC面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在？求出BG的值，若不存在，请说明理由解：（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F。因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD。又因为PD平面ABCD，AC平面PDBE为PB上任意一点，DE平面PBD，所以ACDE--------------7分（2）连ED．由（I），知AC平面PDB，EF平面PBD，所以ACEF．1,2ACESACEF在ACE面积最小时，EF最小，则EFPB．19,692ACESEF，解得3EF--------------10分由PBEF且PBAC得PB平面,AEC则PBEC，又由3EFAFFC得ECAE，而PBAEE，故EC平面PAB作//GHCE交PB于点G，则GH平面PAB,所以GEH就是EG与平面PAB所成角.在直角三角形CEB中，6,32,32BCECEB所以45CEB，设BGx，则22BHHGx。由tan2GEH得24EHx。由EHHBEB得4x，即4BG35.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，3AD,点F是PB的中点，点E在边BC上移动。⑴求三棱锥E-PAD的体积；⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。解：（1）因为点E到平面PAD的距离即为1，所以113131326EPADV····················4分(2)直线EF与平面PAC平行因为E、F两点分别为边PB和BC的中点，所以EF//PC，且直线EF不在平面PAC内，直线PC在平面PAC内，所以，直线EF//面PAC····················8分(3)因为PA=AB且F为PB中点，所以AF⊥PB,又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC,由于地面ABCD为矩形，所以BC⊥AB,所以BC⊥面PAB,所以BC⊥AF,所以AF⊥面PBC,所以无论点E在BC上何处时，总有AF⊥PE。36.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=45。（I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥C—PAB的体积证明：（Ⅰ）在ABD△中，由于4AD，8BD，45AB，所以222ADBDAB．故ADBD．……………………………………………2分又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD.…………………………………………………………………4分又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD．…………………………………6分（Ⅱ）过P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，[来所以PO平面ABCD．因此PO为棱锥P－ABC的高.………………8分又PAD△是边长为4的等边三角形．因此34232PO．又1162ABCABDSSADBD，………10分VV棱锥棱锥C-PABP-ABC13231623.33OPMDCA