2012山东省高考(理科)数学试题+答案解析

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式：锥体的体积公式：V=13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为A3+5iB3-5iC-3+5iD-3-5i解析：iiiiiiz535)1114(7225)2)(711(2711.答案选A。另解：设),(Rbabiaz，则iiabbaibia711)2(2)2)((根据复数相等可知72,112abba，解得5,3ba，于是iz53。2已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，则（CuA）B为A{1,2,4}B{2,3,4}C{0,2,4}D{0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{BACACUU。答案选C。3设a＞0a≠1，则“函数f(x)=ax在R上是减函数”，是“函数g(x)=(2-a)3x在R上是增函数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：p：“函数f(x)=ax在R上是减函数”等价于10a；q：“函数g(x)=(2-a)3x在R上是增函数”等价于02a，即,20a且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件.答案选A。（4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（A）7（B）9（C）10（D）15解析：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即30l，第k组的号码为930)1(k，令750930)1(451k，而zk，解得2516k则满足2516k的整数k有10个，故答案应选C。解析：作出可行域，直线03yx，将直线平移至点)0,2(处有最大值，点)3,21(处有最小值，即623z.答案应选A。（6）执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（A）2（B）3（C）4（D）5解析：312,140,00qpn；716,541,11qpn；15114,2145,22qpn，qpn,3。答案应选B。(7)若42，，37sin2=8，则sin=（A）35（B）45（C）74（D）34解析：由42，可得],2[2，812sin12cos2，22yx14yx42yxO4322cos1sin，答案应选D。另解：由42，及37sin2=8可得434716776916761687312sin1cossin，而当42，时cossin，结合选项即可得47cos,43sin.答案应选D。（8）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（A）335（B）338（C）1678（D）2012解析：2)2(,1)1(,0)0(,1)1(,0)2(,1)3(ffffff，而函数的周期为6，3383335)2()1()210101(335)2012()2()1(fffff.答案应选B(9)函数的图像大致为解析：函数xxxxf226cos)(，)(226cos)(xfxxfxx为奇函数，当0x，且0x时)(xf；当0x，且0x时)(xf；当x，xx22，0)(xf；当x，xx22，0)(xf.答案应选D。（10）已知椭圆C：的离心率为，双曲线x²-y²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为解析：双曲线x²-y²＝1的渐近线方程为xy，代入可得164,222222xSbabax，则)(42222baba，又由23e可得ba2，则245bb，于是20,522ab。椭圆方程为152022yx，答案应选D。（11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（A）232(B)252(C)472(D)484解析：472885607216614151641122434316CCCC,答案应选C。另解：472122642202111241261011123212143431204CCCCC.(12)设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是A.当a<0时，x1+x2<0,y1+y2>0B.当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0C.当a>0时，x1+x2<0,y1+y2<0D.当a>0时，x1+x2>0,y1+y2>0解析:令bxaxx21，则)0(123xbxax，设23)(bxaxxF，bxaxxF23)(2令023)(2bxaxxF，则abx32，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需1)32()32()32(23abbabaabF，整理得23274ab，于是可取3,2ba来研究，当3,2ba时，13223xx，解得21,121xx，此时2,121yy，此时0,02121yyxx；当3,2ba时，13223xx，解得21,121xx，此时2,121yy，此时0,02121yyxx.答案应选B。另解：令)()(xgxf可得baxx21。设baxyxy,12不妨设21xx，结合图形可知，当0a时如右图，此时21xx，)0(abaxy)0(abaxyyyxx21xx21xx即021xx，此时021xx，112211yxxy，即021yy；同理可由图形经过推理可得当0a时0,02121yyxx.答案应选B。第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。（13）若不等式的解集为，则实数k=__________。解析：由可得242kx，即62kx，而31x，所以2k.另解：由题意可知3,1xx是24kx的两根，则24324kk，解得2k.（14）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________。解析：61112113111DEDFEDFDVV.（15）设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。解析：aaxdxxSaa2302303232，解得49a.（16）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为______________。解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转了212弧度，此时点P的坐标为)2cos1,2sin2(,2cos1)22sin(1,2sin2)22cos(2OPyxPP.CD另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为sin1cos2yx，且223,2PCD，则点P的坐标为2cos1)223sin(12sin2)223cos(2yx，即)2cos1,2sin2(OP.三、解答题：本大题共6小题，共74分。（17）（本小题满分12分）已知向量m=（sinx，1），函数f（x）=m·n的最大值为6.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。解析：（Ⅰ）62sin2cos22sin232cos2sincos3)(xAxAxAxAxxAnmxf，则6A;（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移12个单位得到函数]6)12(2sin[6xy的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数)34sin(6)(xxg.当]245,0[x时，]1,21[)34sin(],67,3[34xx，]6,3[)(xg.故函数g（x）在上的值域为]6,3[.另解：由)34sin(6)(xxg可得)34cos(24)(xxg，令0)(xg，则)(234Zkkx，而]245,0[x，则24x，于是367sin6)245(,62sin6)24(,333sin6)0(ggg，故6)(3xg，即函数g（x）在上的值域为]6,3[.（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。解析：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,由余弦定理可知202223)180cos(2CDDABCBCDCBCDBD,即ADCDBD33,在ABD中，∠DAB=60°，ADBD3，则ABD为直角三角形，且DBAD。又AE⊥BD，AD平面AED，AE平面AED，且AAEAD，故BD⊥平面AED；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知CBAC，设1CB，则3BDCA,建立如图所示的空间直角坐标系，)0,21,23(),0,1,0(),01,0(DBF，向量)1,0,0(n为平面BDC的一个法向量.设向量),,(zyxm为平面BDF的法向量，则00FBmBDm,即002323zyyx，取1y，则1,3zx，则)1,1,3(m为平面BDF的一个法向量.5551,cosnmnmnm，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则二面角F-BD-C的余弦值为55。（19）（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；zxy（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX解析：（Ⅰ）367323141)31(43122CP；（Ⅱ）5,4,3,2,1,0X91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222CXPXPXP,31)32(43)5(,91)32(41)4(,31323143)3(2212XPXPCXPX012345P36112191319131EX=0×361+1×121+2×91+3×31+4×91+5×31=12531241.（20）（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N﹡，将数列{an}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm。解析：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得,28,84344aa而a9=73，则9,45549daad，12728341daa，于是899)1(1nnan，即89nan.（Ⅱ）对任意m∈N﹡，mmn29899，则899892mmn，即989989121mmn，而*Nn，由题意可知11299mmmb，于是)999(999110123121mmmmbbbS8980198019109819809991919199121212212mmmmmmmm，即89801912mmmS.（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为34。（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为2，直线l：y=kx+14与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当12≤k≤2时，的最小值。解析：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F)2,0(p，设M)0)(2,(0200xpxx，),(baQ，由题意可知4pb，则点Q到抛物线C的准线的距离为ppppb4324234，解得1p，于是抛物线C的方程为yx22.（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，而)2,(),0,0(),21,0(200xxMOF，)41,(aQ，QFOQMQ，161)412()(222020axax，030838xxa，由yx22可得xy，030200838241xxxxk，则20204021418381xxx，即022040xx，解得10x，点M的坐标为)21,1(.（Ⅲ）若点M的横坐标为2，则点M)1,2(，)41,82(Q。由4122kxyyx可得02122kxx，设),(),,(2211yxByxA，]4))[(1(2122122xxxxkAB)24)(1(22kk圆323161642)21()82(:22yxQ，22182182kkkkD)1(823])1(32323[422222kkkkDE，于是)1(823)24)(1(222222kkkkDEAB，令]5,45[12tk418124812)24()1(823)24)(1(2222222tttttttkkkkDEAB，设418124)(2ttttg，28128)(tttg，当]5,45[t时，08128)(2tttg，即当21,45kt时101441458145216254)(mintg.故当21k时，1014)(min22DEAB.22(本小题满分13分)已知函数f(x)=xekxln（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行。（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）设g(x)=(x2+x)\'()fx,其中\'()fx为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，21)(exg。解析：由f(x)=xekxln可得)(xfxexkxln1，而0)1(f，即01ek，解得1k；（Ⅱ）)(xfxexxln11，令0)(xf可得1x，当10x时，0ln11)(xxxf；当1x时，0ln11)(xxxf。于是)(xf在区间)1,0(内为增函数；在),1(内为减函数。简证（Ⅲ）xxexxxxexxxxxgln)(1ln11)()(222，当1x时，0,0,0ln,0122xexxxx，210)(exg.当10x时，要证22221ln)(1ln11)()(eexxxxexxxxxgxx。只需证2221()ln(1)xxxxxee，然后构造函数即可证明。