高考文科数学二轮专题复习题《专题1 第2讲 函数与方程及函数的应用》

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第2讲　函数与方程及函数的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2013·湖南卷)函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为(　　)．A．3　B．2　C．1　D．0解析　由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．答案　B2．“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的(　　)．A．充分不必要条件　B．必要不充分条件C．充要条件　D．既不充分也不必要条件解析　由于“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”⇔f(－1)f(2)<0⇔(－a＋3)(2a＋3)<0⇔a<－或a>3，则“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的充分不必要条件．答案　A3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)．A.，0　B．－2,0　C．　D．0解析　当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.答案　D4．函数f(x)＝x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为(　　)．A．1　B．2　C．3　D．4解析　在同一坐标系内作出函数y＝x及y＝sinx在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f(x)在[0,2π]上有两个零点．答案　B5．设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)(　　)．A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解析　法一　因为f＝·－ln＝＋1>0，f(1)＝－ln1＝>0，f(e)＝－lne＝－1<0，∴f·f(1)>0，f(1)·f(e)<0，故y＝f(x)在区间内无零点(f(x)在内根据其导函数判断可知单调递减)，在区间(1，e)内有零点．法二　在同一坐标系中分别画出y＝x与y＝lnx的图象，如图所示．由图象知零点存在区间(1，e)内．答案　D6．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时f(x)＝1－x2.函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点的个数为(　　)．A．7　B．8　C．9　D．10解析　由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，求h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点，即求f(x)＝g(x)在区间[－5,4]上图象交点的个数．画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，由图可知两图象在[－5,4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.答案　A7．(2013·重庆卷)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)．A．(a，b)和(b，c)内　B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内　D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析　由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.答案　A二、填空题8．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40cm、60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm2.解析　设直角边为40cm和60cm上的矩形边长分别为xcm、ycm，则＝，解得y＝60－x.矩形的面积S＝xy＝x＝－(x－20)2＋600，当x＝20时矩形的面积最大，此时S＝600.答案　6009．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则[x0]＝________.解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且易判断函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2.答案　210．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．解析　当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax，化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)>0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故填[－2,0]．答案　[－2,0]11．(2014·福建卷)函数f(x)＝的零点个数是________．解析　分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个．当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)．所以在(－∞，0)上有一个零点．当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)－ln3>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点．综上，函数f(x)的零点个数为2.答案　212．(2014·天津卷)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．解析　作出函数f(x)的图象，根据图象观察出函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象交点的情况，然后利用判别式等知识求解．画出函数f(x)的图象如图所示．函数y＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0)．当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a<2.当y＝a|x|(x≤0)与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，此时，由得x2＋(5－a)x＋4＝0.由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，则当10恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以00，∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．又因f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(2)解　由(1)知f(2)<0，f(3)>0.∴f(x)的零点x0∈(2,3)．取x1＝，∵f＝ln－1＝ln－lne<0，∴f·f(3)<0，∴x0∈.取x2＝，∵f＝ln－＝ln－lne>0，∴f·f<0.∴x0∈且＝≤，∴即为符合条件的区间．