2016年天津市高考理科数学试卷+答案

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绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：•如果事件，互斥，那么•如果事件，相互独立，那么..•圆柱的体积公式.•圆锥的体积公式.其中表示圆柱的底面面积，其中表示圆锥的底面面积，表示圆柱的高.表示圆锥的高.一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.学科.网（1）已知集合，，则（A）（B）　（C）（D）（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（A）（B）（C）（D）≥≥≤（3）在中，若，，，则（A）（B）（C）（D）（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（A）（B）（C）（D）（5）设是首项为正数的等比数列，学科&网公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（A）充要条件　　（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件　　（D）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，学科&网四边形的面积为，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（7）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（A）（B）（C）（D）（8）已知函数（，学.科网且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（A）（B）（C）{}（D）{}≥≥（第4题图）否开始4S1nSS26SS是1nn否S输出结束?3＞n?6S是绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二．填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.（9）已知，R，是虚数单位，若，则的值为_____________.（10）的展开式中的系数为_____________.（用数字作答）（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：），学科.网则该四棱锥的体积为_____________.（12）如图，是圆的直径，弦与相交于点，，，则线段的长为_____________.（13）已知是定义在R上的偶函数，且在区间正视图侧视图俯视图（第11题图）11113上单调递增.若实数满足，则的取值范围是_____________.（14）设抛物线（为参数，）的焦点，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为_____________.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.（16）（本小题满分13分）某小组共人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为，，的人数分别为，，.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设为事件“选出的人参加义工活动次数之和为”，求事件发生的概率；（Ⅱ）设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列ABCDE（第14题图）和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值.（18）（本小题满分13分）已知是各项均为正数的等差数列，学.科.网公差为.对任意的，是和的等比中项.（Ⅰ）设，，求证：数列是等差数列；（Ⅱ）设，，，求证.ABCDEFHGO（19）（本小题满分14分）设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，其中为原点，为椭圆的离心率.学.科.网（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且≤，求直线的斜率的取值范围.（20）（本小题满分14分）设函数，R，其中，R.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）一、选择题：（1）【答案】D（2）【答案】B（3）【答案】A（4）【答案】B（5）【答案】C（6）【答案】D（7）【答案】B（8）【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：（9）【答案】2（10）【答案】（11）【答案】2（12）【答案】（13）【答案】(14)【答案】三、解答题（15）【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在区间上单调递增,学科&网在区间上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期根据（1）的结论，研究三角函数在区间[]上单调性试题解析：解：的定义域为..所以,的最小正周期解：令函数的单调递增区间是由,得设，易知.所以,当学.科网时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式【结束】(16)【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为学.科网再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望试题解析：解：由已知，有所以，事件发生的概率为.随机变量的所有可能取值为，，.所以，随机变量学.科网分布列为随机变量的数学期望.考点：概率，概率分布与数学期望【结束】(17)【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.（III）解：由，学.科网得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.考点：利用空间向量解决立体几何问题【结束】(18)【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：，从而，因此根据等差数列定义可证：（Ⅱ）对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.试题解析：（I）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（II）证明：所以.考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【结束】（19）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.取值范围试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.考点：学.科网椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【结束】（20）【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得，或.当变化时，，的变化情况如下表：＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以.（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此.（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，学.科网所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【结束】