2016年高考数学(文科)(北京卷)+参考答案

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绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）复数（A）i（B）1+i（C）（D）（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）8（B）9（C）27（D）36（4）下列函数中，在区间上为减函数的是（A）（B）（C）（D）（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（A）1（B）2（C）（D）2（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A）（B）（C）（D）（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为（A）−1（B）3（C）7（D）8（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a−1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A）2号学生进入30秒跳绳决赛（B）5号学生进入30秒跳绳决赛（C）8号学生进入30秒跳绳决赛（D）9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知向量，则a与b夹角的大小为_________.（10）函数的最大值为_________.（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.(12)已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（,0），则a=_______；b=_____________.(13)在△ABC中，，a=c，则=_________.(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.（16）（本小题13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.（17）（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，（I）求证：；（II）求证：；(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得?说明理由.（19）（本小题14分）已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.（I）求椭圆C的方程及离心率；（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.（20）（本小题13分）设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）D（5）C（6）B（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）2（11）（12）12（13）1（14）1629三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）等比数列的公比，所以，．设等差数列的公差为．因为，，所以，即．所以（，，，）．（II）由（I）知，，．因此．从而数列的前项和．（16）（共13分）解：（I）因为，所以的最小正周期．依题意，，解得．（II）由（I）知．函数的单调递增区间为（）．由，得．所以的单调递增区间为（）．（17）（共14分）解：（I）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间，，，，内的频率依次为，，，，．所以该月用水量不超过立方米的居民占%，用水量不超过立方米的居民占%．依题意，至少定为．（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组频率根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：（元）．（18）（共13分）解：（I）因为平面，所以．又因为，所以平面．（II）因为，，所以．因为平面，所以．所以平面．所以平面平面．（III）棱上存在点，使得平面．证明如下：取中点，连结，，．又因为为的中点，所以．又因为平面，所以平面．（19）（共14分）解：（I）由题意得，，．所以椭圆的方程为．又，所以离心率．（II）设（，），则．又，，所以，直线的方程为．令，得，从而．直线的方程为．令，得，从而．所以四边形的面积．从而四边形的面积为定值．（20）（共13分）解：（I）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．（II）当时，，所以．令，得，解得或．与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．（III）当时，，，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．当时，只有一个零点，记作．当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递增．所以不可能有三个不同零点．综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．故是有三个不同零点的必要条件．当，时，，只有两个不同0点，所以不是有三个不同零点的充分条件．因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．