2017年高考数学知识方法专题7《解析几何第34练 直线与圆锥曲线的综合问题》

出处:老师板报网 时间:2023-02-17

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第34练 直线与圆锥曲线的综合问题[题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题,从近几年的高考试题来看,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中,主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来;对于方程的求解不要忽视轨迹的求解形式,后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查,探索类和存在性问题考查的概率也很高.体验高考1.(2015·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若|PC|=2|AB|,求直线AB的方程.解 (1)由题意,得=且c+=3,解得a=,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)当AB⊥x轴时,AB=,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=,C的坐标为,且AB===.若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k≠0,故直线PC的方程为y+=-,则P点的坐标为,从而PC=.因为|PC|=2|AB|,所以=,解得k=±1.此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.2.(2016·浙江)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.解 (1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0.故y1y2=-4,所以B.又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-,从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-.所以N.设M(m,0),由A,M,N三点共线得=,于是m=,所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).3.(2016·四川)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.(1)解 由已知,得a=2b,又椭圆+=1(a>b>0)过点P,故+=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是+y2=1.(2)证明 设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4m2-4(2m2-2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-0),其离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)若直线l过点P(0,4),则直线l何时与椭圆M相交?解 (1)因为椭圆M的离心率为,所以=2,得b2=2.所以椭圆M的方程为+=1.(2)①过点P(0,4)的直线l垂直于x轴时,直线l与椭圆M相交.②过点P(0,4)的直线l与x轴不垂直时,可设直线l的方程为y=kx+4.由消去y,得(1+2k2)x2+16kx+28=0.因为直线l与椭圆M相交,所以Δ=(16k)2-4(1+2k2)×28=16(2k2-7)>0,解得k<-或k>.综上,当直线l垂直于x轴或直线l的斜率的取值范围为∪时,直线l与椭圆M相交.点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题,一是利用方程的根的判别式来确定但一定要注意,利用判别式的前提是二次项系数不为零;二是利用图形来处理和理解;三是直线过定点位置不同,导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.变式训练1 (2015·安徽)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求椭圆E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解 (1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=,进而得a=b,c==2b,故e==.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题例2 已知椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),过点E(,0)的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|.(1)求椭圆的离心率;(2)求直线AB的斜率.解 (1)由F1A∥F2B,且|F1A|=2|F2B|,得==,从而=,整理,得a2=3c2,故离心率e=.(2)由(1)得b2=a2-c2=2c2,所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2,设直线AB的方程为y=k(x-),即y=k(x-3c).由已设A(x1,y1),B(x2,y2),则它们的坐标满足方程组消去y并整理,得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0,依题意,Δ=48c2(1-3k2)>0,得-b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(1)求椭圆E的离心率;(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求椭圆E的方程.解 (1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=a,l的方程为y=x+c,其中c=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组消去y,化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,则x1+x2=,x1x2=.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|=,即a=,故a2=2b2,所以E的离心率e===.(2)设AB的中点为N(x0,y0),由(1)知x0===-,y0=x0+c=.由|PA|=|PB|,得kPN=-1,即=-1,得c=3,从而a=3,b=3.故椭圆E的方程为+=1.高考题型精练1.(2015·北京)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.解 (1)椭圆C的标准方程为+y2=1,所以a=,b=1,c=.所以椭圆C的离心率e==.(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,所以可设A(1,y1),B(1,-y1),直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2),令x=3,得M(3,2-y1),所以直线BM的斜率kBM==1.(3)直线BM与直线DE平行,证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM=1.又因为直线DE的斜率kDE==1,所以BM∥DE,当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=(x-2).令x=3,得点M,由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,所以x1+x2=,x1x2=,直线BM的斜率kBM=,因为kBM-1====0,所以kBM=1=kDE.所以BM∥DE,综上可知,直线BM与直线DE平行.2.(2016·课标全国甲)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点点N在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:0,由|AM|=|AN|及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0,解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(2)证明 将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,由x1·(-2)=得x1=,故|AM|=|x1+2|=.由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|,得=,即4k3-6k2+3k-8=0,设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f′(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)单调递增,又f()=15-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在(,2)内,所以0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解 (1)依题意知=,c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)由y=x2得y′=x,设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0,又点P(x0,y0)在切线PA和PB上,所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解,所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0,所以y1+y2=x-2y0,y1y2=y,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1=y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5=22+,所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.4.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程;(2)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.解 (1)由题意,得从而因此,椭圆C1的方程为+x2=1.(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′.直线MN的方程为y=2tx-t2+h.将上式代入椭圆C1的方程中,得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点,所以①式中的Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.②设线段MN的中点的横坐标是x3,则x3==.设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4=.由题意,得x3=x4,即t2+(1+h)t+1=0.③由③式中的Δ2=(1+h)2-4≥0,得h≥1,或h≤-3.当h≤-3时,h+2<0,4-h2<0,则不等式②不成立,所以h≥1.当h=1时,代入方程③得t=-1,将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.所以,h的最小值为1.
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