2017年高考数学知识方法专题7《解析几何第32练 双曲线的渐近线和离心率问题》

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第32练　双曲线的渐近线和离心率问题[题型分析·高考展望]　双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.体验高考1.(2015·四川)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于()A.B.2C.6D.4答案　D解析　设A，B两点的坐标分别为(x，yA)，(x，yB)，将x＝c＝2代入渐近线方程y＝±x得到yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.2.(2016·天津)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案　D解析　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为－＝1.故选D.3.(2016·浙江)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A.m＞n且e1e2＞1B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1D.m＜n且e1e2＜1答案　A解析　由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，又∵m＞0，n＞0，故m＞n.又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.4.(2015·上海)已知点P和Q横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2，若C1的渐近线为y＝±x，则C2的渐近线方程为____________.答案　y＝±x解析　设点P和Q的坐标为(x，y)，(x0，y0)，则有又因为C1的渐近线方程为y＝±x，故设C1的方程为3x2－y2＝λ，把点坐标代入，可得3x－4y＝λ，令λ＝0⇒x±2y＝0，即为曲线C2的渐近线方程，则y＝±x.5.(2015·北京)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.答案　解析　直接求解双曲线的渐近线并比较系数.双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.高考必会题型题型一　双曲线的渐近线问题例1　(1)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)A.－B.－C.－D.－答案　B解析　双曲线ax2＋by2＝1的渐近线方程可表示为ax2＋by2＝0，由得(a＋b)x2－2bx＋b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝，所以原点和线段AB中点的直线的斜率k＝＝＝＝－，故选B.(2)如图，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).①求双曲线C的方程；②过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.解　①设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，解得B(，－).又直线OA的方程为y＝x，则A(c，)，kAB＝＝.又因为AB⊥OB，所以·(－)＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.②由①知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M(2，)；直线l与直线x＝的交点为N(，).则＝＝＝·.因为P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，代入上式得＝·＝·＝，即所求定值为＝＝.点评　(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y＝±x⇔±＝0⇔－＝0，所以可以把标准方程－＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：y＝x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.变式训练1　已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)A.x±y＝0B.x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝0答案　C解析　由已知，得e1＝，e2＝，所以e1e2＝＝，解得＝±，所以C2的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±2y＝0，故选C.题型二　双曲线的离心率问题例2　(1)点A是抛物线C1：y2＝2px(p>0)与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于(　　)A.B.C.D.(2)(2016·课标全国甲)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinF2＝，则E的离心率为(　　)A.B.C.D.2答案　(1)C　(2)A解析　(1)双曲线的渐近线方程为：y＝x，由题意可求得点A(，p)代入渐近线得＝＝2，∴()2＝4，∴＝4，∴e2＝5，∴e＝，故选C.(2)离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.点评　在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题.变式训练2　(2016·上海)双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝，若l的斜率存在，且(F1A＋F1B)·AB＝0，求l的斜率.解　(1)由已知F1(－，0)，F2(，0)，取x＝，得y＝b2，|F1F2|＝|F2A|，∵|F1F2|＝2，|F2A|＝b2，∴2＝b2，即3b4－4b2－4＝(3b2＋2)(b2－2)＝0，∴b＝，∴渐近线方程为y＝±x.(2)若b＝，则双曲线方程为x2－＝1，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则F1A＝(x1＋2，y1)，F1B＝(x2＋2，y2)，AB＝(x2－x1，y2－y1)，∴F1A＋F1B＝(x1＋x2＋4，y1＋y2)，(F1A＋F1B)·AB＝x－x＋4(x2－x1)＋y－y＝0，(*)∵x－＝x－＝1，∴y－y＝3(x－x)，∴代入(*)式，可得4(x－x)＋4(x2－x1)＝0，直线l的斜率存在，故x1≠x2，∴x1＋x2＝－1.设直线l为y＝k(x－2)，代入3x2－y2＝3，得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，∴3－k2≠0，且Δ＝16k4＋4(3－k2)(4k2＋3)＝36(k2＋1)>0，x1＋x2＝－＝－1，∴k2＝，∴k＝±，∴直线l的斜率为±.题型三　双曲线的渐近线与离心率综合问题例3　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝60°，且OQ＝3OP，则双曲线C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　如图所示，设∠AOQ＝α，∴tanα＝⇒cosα＝，sinα＝，∴|OH|＝a·cosα＝，|AH|＝a·sinα＝，又∵OQ＝3OP，∴|OP|＝|PH|＝|HQ|＝，∴|AH|＝|PH|⇒＝·⇒2b＝a，∴e＝＝.故选C.点评　解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)以及双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为(　　)A.2或B.或C.2或D.或答案　A解析　由题意可知，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k＝＝或，则e＝＝＝＝＝2或.高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由双曲线方程可求出F1，F2的坐标，再求出向量MF1，MF2，然后利用向量的数量积公式求解.由题意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F2(，0)，∴MF1＝(－－x0，－y0)，MF2＝(－x0，－y0).∵MF1·MF2<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－0，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由题意，得直线F1B1的方程是bx－cy＋bc＝0，因为圆与直线相切，所以点O到直线F1B1的距离等于半径，即＝a，又b2＝c2－a2，得c4－3a2c2＋a4＝0，e4－3e2＋1＝0，e2＝，e＝，故选B.5.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)A.3B.2C.D.答案　B解析　设椭圆与双曲线的标准方程分别为＋＝1(a>b>0)，－＝1(m>0，n>0)，因为它们共焦点，所以它们的半焦距均为c，所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝，e2＝，由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，即2m＝a，所以＝＝＝2，故选B.6.若实数k满足00，b>0)的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y＝x是双曲线C的一条渐近线，以线段OF为边作正三角形AOF，若点A在双曲线C上，则m＝________.答案　3＋2解析　因为直线y＝x是双曲线C的一条渐近线，所以m＝，又A在双曲线C上，三角形AOF是正三角形，所以A(c，c)，－＝1，c2＝a2＋b2，化为－＝1，＋m－－＝1，因为m>0，可解得m＝3＋2.8.设P为直线y＝x与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.答案　解析　设P(x，x)，则由题意，知c＝|x|，因为PF1垂直于x轴，则由双曲线的通径公式知|x|＝，即c＝，所以b＝.又由a2＝c2－b2，得a2＝c2，所以e＝＝.9.(2016·山东)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.答案　2解析　由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－(舍去).10.已知A(1，2)，B(－1，2)，动点P满足AP⊥BP，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.答案　(1，2)解析　根据条件AP⊥BP，可得P点的轨迹方程x2＋(y－2)2＝1，求出双曲线的渐近线方程y＝x，运用圆心到直线的距离大于半径，得到3a2>b2，再由b2＝c2－a2，得出离心率e＝<2，又双曲线离心率e>1，所以10，b>0)的左，右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好在以F2为圆心，|OF2|(O为坐标原点)为半径的圆上，则该双曲线的离心率为______.答案　2解析　设F1(－c，0)，F2(c，0)，设一条渐近线方程为y＝－x，则F1到渐近线的距离为＝b，设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于点A，所以|MF1|＝2b，A为F1M的中点，又O是F1F2的中点，所以OA∥F2M，∠F1MF2是直角，由勾股定理得：4c2＝c2＋4b2，化简得e＝2.12.已知双曲线C1：x2－＝1.(1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点，当OA·OB＝3时，求实数m的值.解　(1)∵双曲线C1：x2－＝1，∴焦点坐标为(，0)，(－，0)，设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)，∴解得∴双曲线C2的标准方程为－y2＝1.(2)双曲线C1的两条渐近线为y＝2x，y＝－2x，由可得x＝m，y＝2m，∴A(m，2m)，由可得x＝－m，y＝m，∴B(－m，m)，∴OA·OB＝－m2＋m2＝m2，∵OA·OB＝3，∴m2＝3，∴m＝±.