2017年高考数学考前回扣教材8《计数原理》

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回扣8　计数原理1.分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理).2.分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理).3.排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示.(3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1.4.组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示.(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1.(4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.5.二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk.6.二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.7.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大.当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.1.关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.(2)混合问题一般是先分类再分步.(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.3.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.4.对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a、b.1.用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A.36个B.18个C.9个D.6个答案　B解析　利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确定的四位数应有18个，故选B.2.某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男，女生人数为(　　)A.2，6B.3，5C.5，3D.6，2答案　B解析　设男生人数为n，则女生人数为8－n，由题意可知CCA＝90，即CC＝15，解得n＝3，所以男，女生人数为3，5，故选B.3.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有(　　)A.150种B.180种C.240种D.540种答案　A解析　先将5个人分成三组，(3，1，1)或(1，2，2)，分组方法有C＋C＝25(种)，再将三组全排列有A＝6(种)，故总的方法数有25×6＝150(种).4.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有(　　)A.210种B.420种C.630种D.840种答案　B解析　因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女.若选出的3位教师是1男2女则共有CCA＝180(种)不同的选派方法，若选出的3位教师是2男1女则共有CCA＝240(种)不同的选派方法，所以共有180＋240＝420(种)不同的方案，故选B.5.若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a等于()A.2B.C.1D.答案　C解析　二项式(2x＋)7的通项公式为Tk＋1＝C(2x)7－k()k＝C27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.6.(x－1)4－4x(x－1)3＋6x2(x－1)2－4x3(x－1)＋x4等于(　　)A.－1B.1C.(2x－1)4D.(1－2x)5答案　B解析　(x－1)4－4x(x－1)3＋6x2(x－1)2－4x3(x－1)＋x4＝((x－1)－x)4＝1.7.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙中两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有(　　)A.30种B.600种C.720种D.840种答案　C解析　A－A＝720(种).8.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为(　　)A.180B.240C.360D.420答案　D解析　若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2，4两个花池栽同一种颜色的花，或3，5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A种，所以最多有A＋2A＋A＝420(种).9.(x＋)5的各项系数和是1024，则由曲线y＝x2和y＝xa围成的封闭图形的面积为______.答案　解析　设x＝1，则各项系数和为(1＋)5＝1024＝45，所以a＝，联立可得交点坐标分别为(0，0)，(1，1)，所以曲线y＝x2和y＝x围成的封闭图形的面积为(x－x2)dx＝＝－＝.10.圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为______.答案　120解析　圆上任意三点都不共线，因此有三角形C＝120(个).11.一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有________种.答案　36解析　可先考虑3人已经就座，共有A＝6(种)，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求可产生把6个空位分为1，1，2，2，放置在由已经坐定的3人产生的4个空中，共有C＝6，所以不同的坐法共有6×6＝36(种).12.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种.答案　24解析　先把甲、乙捆绑在一起有A种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A种情况，所以着舰方法共有AAA＝2×2×6＝24(种).13.实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A，B，C，D，E)，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序C或D在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有______种.答案　24解析　依题意，当A在第一步时，共有AA＝12(种)；当A在最后一步时，共有AA＝12(种).所以实验的编排方法共有24种.14.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.答案　288解析　从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A＝6(种)，先排3个奇数，有A＝6(种)，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方法有A＝12(种).根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12＝432(种).若1排在两端，1的排法有AA＝4(种)，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有A＝6(种)，根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6＝144(种)，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432－144＝288(种).