2017年高考理科数学三轮冲刺热点题型 中档大题规范练3 数列

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中档大题规范练3　数　列1.(2016·课标全国甲)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和.解　(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.2.在数列{an}中，a1＝1，a4＝7，an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求数列an的通项公式；(2)若bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)，即数列{an}为等差数列，∵a1＝1，a4＝7，∴公差d＝＝＝2，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)∵an＝2n－1，∴bn＝＝＝·＝·(－)，∴Sn＝·(1－＋－＋…＋－)＝·(1－).3.已知数列{an}是递增的等比数列，满足a1＝4，且a3是a2，a4的等差中项，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋1，其前n项和为Sn，且S2＋S6＝a4.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和为Tn，若不等式nlog2(Tn＋4)－λbn＋7≥3n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.解　(1)设等比数列{an}的公比为q，则q>1，an＝4qn－1，∵a3是a2，a4的等差中项，∴2×a3＝a2＋a4，即2q2－5q＋2＝0.∵q>1，∴q＝2，∴an＝4·2n－1＝2n＋1.依题意，数列{bn}为等差数列，公差d＝1，又S2＋S6＝a4＝32，∴(2b1＋1)＋6b1＋＝32，∴b1＝2，∴bn＝n＋1.(2)∵an＝2n＋1，∴Tn＝＝2n＋2－4.不等式nlog2(Tn＋4)－λbn＋7≥3n化为n2－n＋7≥λ(n＋1)，∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立.而＝＝(n＋1)＋－3≥2－3＝3，当且仅当n＋1＝，即n＝2时等号成立，∴λ≤3.4.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a3，3a2，a4成等差数列.(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(n＋2)log2an，求数列{}的前n项和Tn.解　(1)由已知6a2＝a3＋a4，则6a2＝a2q＋a2q2，即q2＋q－6＝0，又q>0，所以q＝2，an＝2n.(2)bn＝(n＋2)log22n＝n(n＋2)，则＝(－)，Tn＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝(1＋－－)＝－.5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＋a8＝－10，S10＝－35.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和Tn.解　(1)由题设可得解得所以an＝1－(n－1)＝2－n.(2)因为＝－n·，所以Tn＝2＋1＋＋…＋－(1＋2×＋3×＋…＋n·)，令Sn＝2＋1＋＋…＋，Sn′＝1＋2×＋3×＋…＋n·，则Tn＝Sn－Sn′，因而Sn＝2＋1＋＋…＋＝＝4(1－)＝4－，因为Sn′＝1＋2×＋3×＋…＋n·，所以Sn′＝＋2×＋3×＋…＋n·，以上两式两边相减可得Sn′＝1＋＋＋＋…＋－n·＝－n·＝2－－n·，所以Sn′＝4－－n·，因此Tn＝Sn－Sn′＝.