2017年高考理科数学三轮冲刺热点题型 中档大题规范练习中档大题规范练1 三角函数

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中档大题规范练中档大题规范练1　三角函数1.(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小.(1)证明　由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解　由S＝得absinC＝，故有sinBsinC＝sinA＝sin2B＝sinBcosB，由sinB≠0，得sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.综上，A＝或A＝.2.(2016·北京)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间.解　(1)f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝＝sin，由ω＞0，f(x)的最小正周期为π，得＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).3.已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的最大值及取得最大值时x的集合.解　(1)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).(2)由已知，得g(x)＝sin(x＋)，∴当sin(x＋)＝1，即x＋＝2kπ＋(k∈Z)，也即x＝2kπ＋(k∈Z)时，g(x)max＝.∴当{x|x＝2kπ＋(k∈Z)}时，g(x)的最大值为.4.(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.(1)证明　根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.(2)解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cosA＝＝.所以sinA＝＝.由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinB＝cosB＋sinB.故tanB＝＝4.5.已知向量m＝(sinx，cosx)，n＝(cosx，cosx)，x∈R，设f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a＝1，b＋c＝2，f(A)＝1，求△ABC的面积.解　(1)f(x)＝m·n＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin(2x＋)＋，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，可得，－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.(2)∵f(A)＝1，∴sin(2A＋)＝，∵0

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