2012年天津高考（文科）数学试卷+参考答案试题解析

《2012年天津高考（文科）数学试卷+参考答案试题解析》是由用户上传到老师板报网，本为文库资料，大小为451 KB，总共有17页，格式为doc。授权方式为VIP用户下载，成为老师板报网VIP用户马上下载此课件。文件完整，下载后可编辑修改。

2012年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（2012•天津）i是虚数单位，复数=（　　）　　A．1i﹣　　B．﹣1+i　　C．1+i　　D．﹣1i﹣2．（2012•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x2y﹣的最小值为（　　）　　A．﹣5　　B．﹣4　　C．﹣2　　D．33．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（　　）　　A．8　　B．18　　C．26　　D．804．（2012•天津）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（　　）　　A．c＜b＜a　　B．c＜a＜b　　C．b＜a＜c　　D．b＜c＜a5．（2012•天津）设xR∈，则“x＞”是“2x2+x1﹣＞0”的（　　）　　A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件　　C．充分必要条件　　D．既不充分也不必要条件6．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（　　）　　A．y=cos2x，xR∈　　B．y=log2|x|，xR∈且x≠0　　C．y=　　D．y=x3+1，xR∈7．（2012•天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（　　）　　A．　　B．1　　C．　　D．28．（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λR∈．若=2，则λ=（　　）　　A．　　B．　　C．　　D．2二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（2012•天津）集合A={xR||x2|≤5}∈﹣中的最小整数为　_________　．10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　_________　m3．11．（2012•天津）已知双曲线C1：与双曲线C：（a＞0，b＞0）有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0）．则a=　_________　，b=　_________　．12．（2012•天津）设m，nR∈，若直线l：mx+ny1=0﹣与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为　_________　．13．（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为　_________　．14．（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是　_________　．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（2012•天津）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．16．（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．（1）求sinC和b的值；（2）求cos（2A+）的值．17．（2012•天津）如图，在四棱锥PABCD﹣中，底面ABCD是矩形，ADPD⊥，BC=1，PC=2，PD=CD=2．（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．18．（2012•天津）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b﹣4=10．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记Tn=anb1+an1﹣b2+…+a1bn，nN∈*，证明：Tn8=a﹣n1﹣bn+1（nN∈*，n≥2）．19．（2012•天津）已知椭圆，点P（）在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．20．（2012•天津）已知函数f（x）=x3+x2axa﹣﹣，xR∈，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[3﹣，﹣1]上的最小值．2012年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析　一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（2012•天津）i是虚数单位，复数=（　　）　　A．1i﹣　　B．﹣1+i　　C．1+i　　D．﹣1i﹣考点：复数代数形式的乘除运算。专题：计算题。分析：进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果．解答：解：===1+i故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．2．（2012•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x2y﹣的最小值为（　　）　　A．﹣5　　B．﹣4　　C．﹣2　　D．3考点：简单线性规划。专题：计算题。分析：先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值解答：解：画出可行域如图阴影区域：目标函数z=3x2y﹣可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（0，2）∴目标函数z=3x2y﹣的最小值为z=3×02×2=4﹣﹣故选B点评：本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题3．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（　　）　　A．8　　B．18　　C．26　　D．80考点：数列的求和；循环结构。专题：计算题。分析：根据框图可求得S1=2，S2=8，S3=26，执行完后n已为4，故可得答案．解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+313﹣0=2；同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，故输出的结果为26．故选C．点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．4．（2012•天津）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（　　）　　A．c＜b＜a　　B．c＜a＜b　　C．b＜a＜c　　D．b＜c＜a考点：不等式比较大小。专题：计算题。分析：由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系解答：解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8=20.8，1.2＞0.8＞0，a∴＞b＞20=1．再由c=2log52=log54＜log55=1，可得a＞b＞c，故选A．点评：本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5．（2012•天津）设xR∈，则“x＞”是“2x2+x1﹣＞0”的（　　）　　A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件　　C．充分必要条件　　D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。专题：计算题。分析：求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．解答：解：由2x2+x1﹣＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”“⇒2x2+x1﹣＞0”；但是“2x2+x1﹣＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x1﹣＞0”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．6．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（　　）　　A．y=cos2x，xR∈　　B．y=log2|x|，xR∈且x≠0　　C．y=　　D．y=x3+1，xR∈考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。专题：计算题。分析：利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由“在区间（1，2）内是增函数”可排除A，从而可得答案．解答：解：对于A，令y=f（x）=cosx，则f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx=f（x），为偶函数，而f（x）=cosx在[0，π]上单调递减，（1，2）⊂[0，π]，故f（x）=cosx在区间（1，2）内是减函数，故排除A；对于B，令y=f（x）=log2|x|，xR∈且x≠0，同理可证f（x）为偶函数，当x∈（1，2）时，y=f（x）=log2|x|=log2x，为增函数，故B满足题意；对于C，令y=f（x）=，f（﹣x）=f﹣（x），为奇函数，故可排除C；而D，为非奇非偶函数，可排除D；故选B．点评：本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中的作用，属于基础题．7．（2012•天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（　　）　　A．　　B．1　　C．　　D．2考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。专题：计算题。分析：图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣），再由所得图象经过点可得sinω（﹣）=sin（ω）=0，故ω•=kπ，由此求得ω的最小值．解答：解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣）．再由所得图象经过点可得sinω（﹣）=sin（ω）=0，∴ω•=kπ，kz∈．故ω的最小值是2，故选D．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换，以及由y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数解析式，属于中档题．8．（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λR∈．若=2，则λ=（　　）　　A．　　B．　　C．　　D．2考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：由题意可得=0，根据=﹣（1λ﹣）﹣λ=（λ1﹣）4λ×1=2﹣，求得λ的值．解答：解：由题意可得=0，由于=（）•（）=[﹣]•[﹣]=﹣（1λ﹣）﹣λ=（λ1﹣）4λ×1=2﹣，解得λ=2，故选D．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（2012•天津）集合A={xR||x2|≤5}∈﹣中的最小整数为　﹣3　．考点：绝对值不等式的解法。专题：计算题。分析：由|x2|≤5﹣可解得﹣3≤x≤7，从而可得答案．解答：解：∵A={xR||x2|≤5}∈﹣，∴由|x2|≤5﹣得，5≤x2≤5﹣﹣，3≤x≤7∴﹣，∴集合A={xR||x2|≤5}∈﹣中的最小整数为﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查绝对值不等式的解法，可根据绝对值不等式|x|≤a（a＞0）的意义直接得到﹣a≤x≤a，也可以两端平方，去掉绝对值符号解之，属于基础题．10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　30　m3．考由三视图求面积、体积。点：专题：计算题。分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱柱的高为4，所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是5边形，几何体的体积为：（2×3+）×4=30（m3）．故答案为：30．点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．11．（2012•天津）已知双曲线C1：与双曲线C：（a＞0，b＞0）有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0）．则a=　1　，b=　2　．考点：双曲线的简单性质。专题：计算题。分析：双曲线C1：的渐近线方程为y=±x，右焦点为（c，0），结合已知即可得=2，c=，列方程即可解得a、b的值解答：解：∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，∴=2∵且C1的右焦点为F（，0）．c=∴，由a2+b2=c2解得a=1，b=2故答案为1，2点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题12．（2012•天津）设m，nR∈，若直线l：mx+ny1=0﹣与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为　3　．考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程。专题：计算题。分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m2+n2的值，再由直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，由直线l的解析式分别令x=0及y=0，得出A的横坐标及B的纵坐标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式变形后，将m2+n2的值代入，即可求出三角形AOB面积的最小值．解答：解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，∴圆心到直线l的距离d==，∴圆心到直线l：mx+ny1=0﹣的距离d==，整理得：m2+n2=，令直线l解析式中y=0，解得：x=，A∴（，0），即OA=，令x=0，解得：y=，B∴（0，），即OB=，m∵2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，|mn|≤∴，又△AOB为直角三角形，S∴ABC△=OA•OB=≥=3，则△AOB面积的最小值为3．故答案为：3点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题．13．（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为　　．考点：与圆有关的比例线段。专题：计算题。分析：由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．解答：解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=故答案为：点评：本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．14．（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是　（0，1）∪（1，2）　．考点：函数的零点与方程根的关系。专题：计算题。分析：函数y===，如图所示，可得直线y=kx与函数y=的图象相交于两点时，直线的斜率k的取值范围．解答：解：函数y===，如图所示：故当一次函数y=kx的斜率k满足0＜k＜1或1＜k＜2时，直线y=kx与函数y=的图象相交于两点，故答案为（0，1）∪（1，2）．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（2012•天津）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法。专题：计算题。分析：（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有=15种，按规律列举即可；（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果解答：解：（I）抽样比为=，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×=3，14×=2，7×=1（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15种（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，事件B的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种，P∴（B）==点评：本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题16．（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．（1）求sinC和b的值；（2）求cos（2A+）的值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用。专题：计算题。分析：（1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出sinC，再由余弦定理求得b=1．（2）利用二倍角公式求得cos2A的值，由此求得sin2A，再由两角和的余弦公式求出cos（2A+）=cos2Acossin2Asin﹣的值．解答：解：（1）△ABC中，由cosA=﹣可得sinA=．再由=以及a=2、c=，可得sinC=．由a2=b2+c22bc•cosA﹣可得b2+b2=0﹣，解得b=1．（2）由cosA=﹣、sinA=可得cos2A=2cos2A1=﹣﹣，sin2A=2sinAcosA=﹣．故cos（2A+）=cos2Acossin2Asin﹣=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（2012•天津）如图，在四棱锥PABCD﹣中，底面ABCD是矩形，ADPD⊥，BC=1，PC=2，PD=CD=2．（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定。专题：计算题；证明题；综合题。分析：（1）判断∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在RtPDA△中，求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）说明ADBC⊥，通过ADPD⊥，CD∩PD=D，证明AD⊥平面PDC，然后证明平面PDC⊥平面ABCD．（3）在平面PDC中，过点P作PECD⊥于E，连接EB．说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，求出PE，PB，在RtPEB△中，通过sinPBE=∠，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．解答：（1）解：如图，在四棱锥PABCD﹣中，因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且ADBC∥，又因为ADPD⊥，故∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在RtPDA△中，=2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为：2．（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故ADBC⊥，由于ADPD⊥，CD∩PD=D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．（3）解：在平面PDC中，过点P作PECD⊥于E，连接EB．由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD．由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，在RtPEC△中，PE=PCsin30°=．由ADBC∥，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BCPC⊥．在RtPCB△中，PB==．在RtPEB△中，sinPBE=∠=．所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为．点评：本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力．18．（2012•天津）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b﹣4=10．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记Tn=anb1+an1﹣b2+…+a1bn，nN∈*，证明：Tn8=a﹣n1﹣bn+1（nN∈*，n≥2）．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和。专计算题；证明题。题：分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先借助于错位相减法求出Tn的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立．解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由a4+b4=27，S4b﹣4=10，得方程组，解得，所以：an=3n1﹣，bn=2n．（2）证明：由第一问得：Tn=anb1+an1﹣b2+…+a1bn=2×2+5×22+8×23+…+（3n1﹣）×2n；①；2Tn=2×22+5×23+…+（3n4﹣）×2n+（3n1﹣）×2n+1，②．由①﹣②得，﹣Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n﹣（3n1﹣）×2n+1=﹣（3n1﹣）×2n+12﹣=﹣（3n4﹣）×2n+18﹣．即Tn8=﹣（3n4﹣）×2n+1．而当n≥2时，an1﹣bn+1=（3n4﹣）×2n+1．T∴n8=a﹣n1﹣bn+1（nN∈*，n≥2）．点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．19．（2012•天津）已知椭圆，点P（）在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质。专题：综合题。分析：（1）根据点P（）在椭圆上，可得，由此可求椭圆的离心率；（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y=kx，设点Q的坐标为（x0，y0），与椭圆方程联立，，根据|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，可求，由此可求直线OQ的斜率的值．解答：解：（1）因为点P（）在椭圆上，所以∴∴∴（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx设点Q的坐标为（x0，y0），由条件得，消元并整理可得①|AQ|=|AO|∵，A（﹣a，0），y0=kx0，∴∴x∵0≠0，∴代入①，整理得∵∴5k∴422k﹣215=0﹣k∴2=5∴点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．20．（2012•天津）已知函数f（x）=x3+x2axa﹣﹣，xR∈，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[3﹣，﹣1]上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。专题：综合题。分析：（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当t[3∈﹣，﹣2]时，t+3[0∈，1]，﹣1[t∈，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[1﹣，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在[3﹣，﹣2]上的最小值；②当t[∈﹣2，﹣1]时，t+3[1∈，2]，﹣1，1[t∈，t+3]，比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[3﹣，﹣1]上的最小值．解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（xa﹣），令f′（x）=0，可得x1=1﹣，x2=a＞0令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞a；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜a故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a，）（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，∴，∴，∴0＜a＜a∴的取值范围为；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增①当t[3∈﹣，﹣2]时，t+3[0∈，1]，﹣1[t∈，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[1﹣，t+3]上单调递减因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t[3∈﹣，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（﹣1）﹣f（t）而f（t）在[3﹣，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣，所以g（t）在[3﹣，﹣2]上的最小值为②当t[2∈﹣，﹣1]时，t+3[1∈，2]，﹣1，1[t∈，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．由f（x）在[2﹣，﹣1]，[1，2]上单调递增，有f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）f∵（1）=f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=f（2）=﹣M∴（t）=f（﹣1）=﹣，m（t）=f（1）=﹣g∴（t）=M（t）﹣m（t）=综上，函数g（t）在区间[3﹣，﹣1]上的最小值为．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．