2012年上海高考数学(理科)真题试卷+(word答案解析版)

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绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（56分）：1．计算：（为虚数单位）。2．若集合，，则。3．函数的值域是。4．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）。5．在的二项展开式中，常数项等于。6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则。[7．已知函数（为常数）。若在区间上是增函数，则的取值范围是。8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为。9．已知是奇函数，且，若，则。10．如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则。11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）。12．在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是。13．已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为。14．如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是。[来二、选择题（20分）：15．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．16．在中，若，则的形状是（）[来A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定17．设，，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（）A．B．C．D．与的大小关系与的取值有关18．设，，在中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100三、解答题（74分）：19．（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，[来底面，是的中点，已知，，，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小。20．（6+8=14分）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数（）的反函数。21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：．（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值。23．（4+6+8=18分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．（1）若，且具有性质，求的值；（2）若具有性质，求证：，且当时，；（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式。2012上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题1．计算：3-i=1+i（i为虚数单位）.【答案】1-2i【解析】3-i(3-i)(1-i)2-4i===1-2i1+i(1+i)(1-i)2.【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2．若集合}012|{xxA，}2|1||{xxB，则BA.【答案】3,21【解析】根据集合A210x，解得12x，由12,,13xx得到，所以3,21BA.【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.3．函数1sincos2)(　　　　　xxxf的值域是.【答案】23,25【解析】根据题目22sin212cossin)(xxxxf，因为12sin1x，所以23)(25xf.【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.4．若)1,2(n是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】2arctan【解析】设直线的倾斜角为，则2arctan,2tan.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5．在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于.【答案】160【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333462C()160Txx.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，nVVV21，则)(lim21nnVVV.【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim21nnVVV.【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.7．已知函数||)(axexf（a为常数）.若)(xf在区间),1[上是增函数，则a的取值范围是.【答案】1,【解析】根据函数,(),xaxaxaexafxeexa看出当ax时函数增函数，而已知函数)(xf在区间,1上为增函数，所以a的取值范围为：1,.【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为.【答案】33【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据条件得到2212l，解得母线长2l，1,22rlr所以该圆锥的体积为：331231S3122hV圆锥.【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.9．已知2)(xxfy是奇函数，且1)1(f，若2)()(xfxg，则)1(g.【答案】1【解析】因为函数2)(xxfy为奇函数，所以,3)1(,1)1(,2)1()1(gffg所以，又1232)1()1(,3)1(fgf.(1)(1).ff【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(xfy为奇函数，所以有)()(xfxf这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M的直线l与极轴的夹角6，若将l的极坐标方程写成)(f的形式，则)(f.【答案】)6sin(1【解析】根据该直线过点)0,2(M，可以直接写出代数形式的方程为：)2(21xy，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1)(f.【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12．在平行四边形ABCD中，3A，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM，则ANAM的取值范围是.【答案】5,2【解析】以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2ADAB，所以51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22ABCD设1515515151(,1)(),,-,-,(2,()sin).22224284423NxxBMCNCNxBMxMxx则根据题意，有)83235,4821(),1,(xxAMxAN.所以83235)4821(xxxANAM2521x，所以25.AMAN642246105510ADCBMN【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13．已知函数)(xfy的图象是折线段ABC，其中)0,0(A、)5,21(B、)0,1(C，函数)(xxfy（10x）的图象与x轴围成的图形的面积为.【答案】45【解析】根据题意得到，110,02()11010,12xxfxxx从而得到22110,02()11010,12xxyxfxxxx所以围成的面积为45)1010(101212210dxxxxdxS，所以围成的图形的面积为45.【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，2BC，若cAD2，且aCDACBDAB2，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.【答案】13222cac【解析】据题aCDACBDAB2，也就是说，线段CDACBDAB与线段的长度是定值，因为棱AD与棱BC互相垂直，当ABDBC平面时，此时有最大值，此时最大值为：13222cac.【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20分）15．若i21是关于x的实系数方程02cbxx的一个复数根，则（）A．3,2cbB．3,2cbC．1,2cbD．1,2cb【答案】B【解析】根据实系数方程的根的特点12i也是该方程的另一个根，所以bii22121，即2b，cii3)21)(21(，故答案选择B.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16．在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】由正弦定理，得,sin2,sin2,sin2CRcBRbARa代入得到222abc，由余弦定理的推理得222cos02abcCab，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择C【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.17．设443211010xxxx，5510x，随机变量1取值54321xxxxx、、、、的概率均为2.0，随机变量2取值222221554433221xxxxxxxxxx、、、、的概率也均为2.0，若记21DD、分别为21、的方差，则（）A．21DDB．21DDC．21DDD．1D与2D的大小关系与4321xxxx、、、的取值有关【答案】A【解析】由随机变量21,的取值情况，它们的平均数分别为：1123451(),5xxxxxx，2334455112211,522222xxxxxxxxxxxx且随机变量21,的概率都为2.0，所以有1D＞2D.故选择A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.18．设25sin1nnan，nnaaaS21，在10021,,,SSS中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100【答案】D[解析]对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数.当26≤k≤49时,令,则,画出k终边如右,其终边两两关于x轴对称,即有,所以+++++0+++=++++++,其中k=26,27,,49,此时,所以,又,所以,从而当k=26,27,,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0.对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数.综上,可选D.[评注]本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.……3分因为PD=32)22(222，CD=2，所以三角形PCD的面积为3232221.……6分（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,22,0)，E(1,2,1)，)1,2,1(AE，)0,22,0(BC.……8分设AE与BC的夹角为，则222224||||cosBCAEBCAE，=4.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是4……12分[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角……8分在AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2知AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=4.因此异面直线BC与AE所成的角的大小是4……12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(xxf.ABCDPExyzABCDPEFxy21213…2423262749483837………（1）若1)()21(0xfxf，求x的取值范围；（6分）（2）若)(xg是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(xfxg，求函数)(xgy])2,1[(x的反函数.（8分）[解]（1）由01022xx，得11x.由1lg)1lg()22lg(0122xxxx得101122xx.……3分因为01x，所以1010221xxx，3132x.由313211xx得3132x.……6分（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(xxfxgxgxgy.……10分由单调性可得]2lg,0[y.因为yx103，所以所求反函数是xy103，]2lg,0[x.……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912xy；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]（1）5.0t时，P的横坐标xP=277t，代入抛物线方程24912xy中，得P的纵坐标yP=3.……2分由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.……4分由tan∠OAP=30712327，得∠OAP=arctan307，故救援船速度的方向为北偏东arctan307弧度.……6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为)12,7(2tt.由222)1212()7(ttvt，整理得337)(1442122ttv.……10分因为2212tt，当且仅当t=1时等号成立，所以22253372144v，即25v.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线12:221yxC.（1）过1C的左顶点引1C的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l交1C于P、Q两点，若l与圆122yx相切，求证：OP⊥OQ；（6分）（3）设椭圆14:222yxC.若M、N分别是1C、2C上的动点，且OM⊥ON，xOyPA求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）[解]（1）双曲线1:21212yCx，左顶点)0,(22A，渐近线方程：xy2.过点A与渐近线xy2平行的直线方程为)(222xy，即12xy.解方程组122xyxy，得2142yx.……2分所以所求三角形的面积1为8221||||yOAS.……4分（2）设直线PQ的方程是bxy.因直线与已知圆相切，故12||b，即22b.……6分由1222yxbxy，得01222bbxx.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则1222121bxxbxx.又2，所以221212121)(2bxxbxxyyxxOQOP022)1(2222bbbbb，故OP⊥OQ.……10分（3）当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=22，则O到直线MN的距离为33.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为kxy（显然22||k），则直线OM的方程为xyk1.由1422yxkxy，得22242412kkkyx，所以22412||kkON.同理121222||kkOM.……13分设O到直线MN的距离为d，因为22222||||)|||(|ONOMdONOM，所以3133||1||1122222kkONOMd，即d=33.综上，O到直线MN的距离是定值.……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为xy，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．对于数集},,,,1{21nxxxX，其中nxxx210，2n，定义向量集},),,(|{XtXstsaaY.若对于任意Ya1，存在Ya2，使得021aa，则称X具有性质P.例如}2,1,1{X具有性质P.（1）若x＞2，且},2,1,1{x，求x的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列nxxx,,,21的通项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1xa，Y中与1a垂直的元素必有形式),1(b.……2分所以x=2b，从而x=4.……4分（2）证明：取Yxxa),(111.设Ytsa),(2满足021aa.由0)(1xts得0ts，所以s、t异号.因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1，故1X.……7分假设1kx，其中nk1，则nxx101.选取Yxxan),(11，并设Ytsa),(2满足021aa，即01ntxsx，则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1.若s=-1，则2，矛盾；若t=-1，则nnxssxx1，矛盾.所以x1=1.……10分（3）[解法一]猜测1iiqx，i=1,2,…,n.……12分记},,,1,1{2kkxxA，k=2,3,…,n.先证明：若1kA具有性质P，则kA也具有性质P.任取),(1tsa，s、tkA.当s、t中出现-1时，显然有2a满足021aa；当1s且1t时，s、t≥1.因为1kA具有性质P，所以有),(112tsa，1s、1t1kA，使得021aa，从而1s和1t中有一个是-1，不妨设1s=-1.假设1t1kA且1tkA，则11kxt.由0),1(),(1kxts，得11kkxtxs，与skA矛盾.所以1tkA.从而kA也具有性质P.……15分现用数学归纳法证明：1iiqx，i=1,2,…,n.当n=2时，结论显然成立；假设n=k时，},,,1,1{2kkxxA有性质P，则1iiqx，i=1,2,…,k；当n=k+1时，若},,,,1,1{121kkkxxxA有性质P，则},,,1,1{2kkxxA也有性质P，所以},,,,1,1{111kkkxqqA.取),(11qxak，并设),(2tsa满足021aa，即01qtsxk.由此可得s与t中有且只有一个为-1.若1t，则1，不可能；所以1s，kkkqqqqtx11，又11kkqx，所以kkqx1.综上所述，1iiqx1iiqx，i=1,2,…,n.……18分[解法二]设),(111tsa，),(222tsa，则021aa等价于2211stts.记|}|||,,|{tsXtXsBts，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称.……14分注意到-1是X中的唯一负数，},,,{)0,(32nxxxB共有n-1个数，所以),0(B也只有n-1个数.由于1221xxxxxxxxnnnnnn，已有n-1个数，对以下三角数阵1221xxxxxxxxnnnnnn113121xxxxxxnnnnn……12xx注意到12111xxxxxxnn，所以12211xxxxxxnnnn，从而数列的通项公式为111)(12kkxxkqxx，k=1,2,…,n.……18分【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．