2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版ⅱ)+(答案解析)

出处:老师板报网 时间:2023-02-10

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2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数()2=(  )A.﹣34i﹣B.﹣3+4iC.34i﹣D.3+4i2.(5分)函数的反函数是(  )A.y=e2x1﹣1﹣(x>0)B.y=e2x1﹣+1(x>0)C.y=e2x1﹣1﹣(x∈R)D.y=e2x1﹣+1(x∈R)3.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为()A.1B.2C.3D.44.(5分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=(  )A.14B.21C.28D.355.(5分)不等式>0的解集为(  )A.{x|x<﹣2,或x>3}B.{x|x<﹣2,或1<x<3}C.{x|2﹣<x<1,或x>3}D.{x|2﹣<x<1,或1<x<3}6.(5分)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(  )A.12种B.18种C.36种D.54种7.(5分)为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin(2x+)的图象(  )A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位8.(5分)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=,=,||=1,||=2,则=(  )A.+B.+C.+D.+9.(5分)已知正四棱锥SABCD﹣中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为(  )A.1B.C.2D.310.(5分)若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a=(  )A.64B.32C.16D.811.(5分)与正方体ABCDA﹣1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点(  )A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个12.(5分)已知椭圆T:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=(  )A.1B.C.D.2 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)已知a是第二象限的角,tan(π+2α)=﹣,则tanα=  .14.(5分)若(x﹣)9的展开式中x3的系数是﹣84,则a=  .15.(5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,若,则p=  .16.(5分)已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M与圆N的公共弦,AB=4,若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN=  . 三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,sinB=,cos∠ADC=,求AD.18.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n)•3n.(Ⅰ)求;(Ⅱ)证明:++…+>3n.19.(12分)如图,直三棱柱ABCA﹣1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1.(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1AC﹣1B﹣1的大小.20.(12分)如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是P,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(Ⅰ)求P;(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率.21.(12分)已知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).(Ⅰ)求C的离心率;(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|•|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.22.(12分)设函数f(x)=1e﹣x﹣.(Ⅰ)证明:当x>﹣1时,f(x)≥;(Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤,求a的取值范围. 2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版Ⅱ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数()2=(  )A.﹣34i﹣B.﹣3+4iC.34i﹣D.3+4i【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,把复数整理成整式形式,再进行复数的乘方运算,合并同类项,得到结果.【解答】解:()2=[]2=(12i﹣)2=34i﹣﹣.故选:A.【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算,是一个基础题,解题时没有规律和技巧可寻,只要认真完成,则一定会得分. 2.(5分)函数的反函数是(  )A.y=e2x1﹣1﹣(x>0)B.y=e2x1﹣+1(x>0)C.y=e2x1﹣1﹣(x∈R)D.y=e2x1﹣+1(x∈R)【考点】4H:对数的运算性质;4R:反函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】从条件中中反解出x,再将x,y互换即得.解答本题首先熟悉反函数的概念,然后根据反函数求解三步骤:1、换:x、y换位,2、解:解出y,3、标:标出定义域,据此即可求得反函数.【解答】解:由原函数解得x=e2y1﹣+1,∴f1﹣(x)=e2x1﹣+1,又x>1,∴x1﹣>0;∴ln(x1﹣)∈R∴在反函数中x∈R,故选:D.【点评】求反函数,一般应分以下步骤:(1)由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y);(2)交换x=Ф(y)中x、y的位置;(3)求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域). 3.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为()A.1B.2C.3D.4【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有【专题】31:数形结合.【分析】先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时,从而得到m值即可.【解答】解:作出可行域,作出目标函数线,可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点,∴即为B(1,1),当x=1,y=1时zmax=3.故选:C.【点评】本题考查了线性规划的知识,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 4.(5分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=(  )A.14B.21C.28D.35【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解.【解答】解:a3+a4+a5=3a4=12,a4=4,∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选:C.【点评】本题主要考查等差数列的性质. 5.(5分)不等式>0的解集为(  )A.{x|x<﹣2,或x>3}B.{x|x<﹣2,或1<x<3}C.{x|2﹣<x<1,或x>3}D.{x|2﹣<x<1,或1<x<3}【考点】73:一元二次不等式及其应用.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】解,可转化成f(x)•g(x)>0,再利用根轴法进行求解.【解答】解:⇔⇔(x3﹣)(x+2)(x1﹣)>0利用数轴穿根法解得﹣2<x<1或x>3,故选:C.【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法,属于不等式的基础题 6.(5分)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(  )A.12种B.18种C.36种D.54种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】本题是一个分步计数问题,首先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42,余下放入最后一个信封,根据分步计数原理得到结果.【解答】解:由题意知,本题是一个分步计数问题,∵先从3个信封中选一个放1,2,有=3种不同的选法;根据分组公式,其他四封信放入两个信封,每个信封两个有=6种放法,∴共有3×6×1=18.故选:B.【点评】本题考查分步计数原理,考查平均分组问题,是一个易错题,解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中,这里包含两个步骤,先平均分组,再排列. 7.(5分)为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin(2x+)的图象(  )A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有【专题】1:常规题型.【分析】先将2提出来,再由左加右减的原则进行平移即可.【解答】解:y=sin(2x+)=sin2(x+),y=sin(2x﹣)=sin2(x﹣),所以将y=sin(2x+)的图象向右平移个长度单位得到y=sin(2x﹣)的图象,故选:B.【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移.平移都是对单个的x来说的. 8.(5分)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=,=,||=1,||=2,则=(  )A.+B.+C.+D.+【考点】9B:向量加减混合运算.菁优网版权所有【分析】由△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,根据三角形内角平分线定理,我们易得到,我们将后,将各向量用,表示,即可得到答案.【解答】解:∵CD为角平分线,∴,∵,∴,∴故选:B.【点评】本题考查了平面向量的基础知识,解答的核心是三角形内角平分线定理即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线,则AB:AC=BD:CD 9.(5分)已知正四棱锥SABCD﹣中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为(  )A.1B.C.2D.3【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】设出底面边长,求出正四棱锥的高,写出体积表达式,利用求导求得最大值时,高的值.【解答】解:设底面边长为a,则高h==,所以体积V=a2h=,设y=12a4﹣a6,则y=48a′33a﹣5,当y取最值时,y=48a′33a﹣5=0,解得a=0或a=4时,当a=4时,体积最大,此时h==2,故选:C.【点评】本试题主要考查椎体的体积,考查高次函数的最值问题的求法.是中档题. 10.(5分)若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a=(  )A.64B.32C.16D.8【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有【专题】31:数形结合.【分析】欲求参数a值,必须求出在点(a,)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=a处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的方程,最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式.从而问题解决.【解答】解:y=′﹣,∴k=﹣,切线方程是y﹣=﹣(xa﹣),令x=0,y=,令y=0,x=3a,∴三角形的面积是s=•3a•=18,解得a=64.故选:A.【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,考查考生的计算能力. 11.(5分)与正方体ABCDA﹣1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点(  )A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系.菁优网版权所有【专题】16:压轴题.【分析】由于点D、B1显然满足要求,猜想B1D上任一点都满足要求,然后想办法证明结论.【解答】解:在正方体ABCDA﹣1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系,并设该正方体的棱长为1,连接B1D,并在B1D上任取一点P,因为=(1,1,1),所以设P(a,a,a),其中0≤a≤1.作PE⊥平面A1D,垂足为E,再作EF⊥A1D1,垂足为F,则PF是点P到直线A1D1的距离.所以PF=;同理点P到直线AB、CC1的距离也是.所以B1D上任一点与正方体ABCDA﹣1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等,所以与正方体ABCDA﹣1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个.故选:D.【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法. 12.(5分)已知椭圆T:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=(  )A.1B.C.D.2【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据求得y1和y2关系根据离心率设,b=t,代入椭圆方程与直线方从立,消去x,根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2,进而根据y1和y2关系求得k.【解答】解:A(x1,y1),B(x2,y2),∵,∴y1=3y﹣2,∵,设,b=t,∴x2+4y24t﹣2=0①,设直线AB方程为,代入①中消去x,可得,∴,,解得,故选:B.【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.此类题问题综合性强,要求考生有较高地转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识的运用. 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)已知a是第二象限的角,tan(π+2α)=﹣,则tanα=  .【考点】GO:运用诱导公式化简求值;GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】根据诱导公式tan(π+α)=tanα得到tan2α,然后利用公式tan(α+β)=求出tanα,因为α为第二象限的角,判断取值即可.【解答】解:由tan(π+2a)=﹣得tan2a=﹣,又tan2a==﹣,解得tana=﹣或tana=2,又a是第二象限的角,所以tana=﹣.故答案为:.【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生的计算能力. 14.(5分)若(x﹣)9的展开式中x3的系数是﹣84,则a= 1 .【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3得展开式中x3的系数,列出方程解得.【解答】解:展开式的通项为=(﹣a)rC9rx92r﹣令92r=3﹣得r=3∴展开式中x3的系数是C93(﹣a)3=84a﹣3=84﹣,∴a=1.故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法. 15.(5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,若,则p= 2 .【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】设直线AB的方程与抛物线方从立消去y得3x2+(﹣62p﹣)x+3=0,进而根据,可知M为A、B的中点,可得p的关系式,解方程即可求得p.【解答】解:设直线AB:,代入y2=2px得3x2+(﹣62p﹣)x+3=0,又∵,即M为A、B的中点,∴xB+(﹣)=2,即xB=2+,得p2+4P12=0﹣,解得p=2,p=6﹣(舍去)故答案为:2【点评】本题考查了抛物线的几何性质.属基础题. 16.(5分)已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M与圆N的公共弦,AB=4,若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN= 3 .【考点】JE:直线和圆的方程的应用;ND:球的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】根据题意画出图形,欲求两圆圆心的距离,将它放在与球心组成的三角形MNO中,只要求出球心角即可,通过球的性质构成的直角三角形即可解得.【解答】解法一:∵ON=3,球半径为4,∴小圆N的半径为,∵小圆N中弦长AB=4,作NE垂直于AB,∴NE=,同理可得,在直角三角形ONE中,∵NE=,ON=3,∴,∴,∴MN=3.故填:3.解法二:如下图:设AB的中点为C,则OC与MN必相交于MN中点为E,因为OM=ON=3,故小圆半径NB为C为AB中点,故CB=2;所以NC=,∵△ONC为直角三角形,NE为△ONC斜边上的高,OC=∴MN=2EN=2•CN•=2××=3故填:3.【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算,还考查球、直线与圆的基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,sinB=,cos∠ADC=,求AD.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;HP:正弦定理.菁优网版权所有【分析】先由cos∠ADC=确定角ADC的范围,因为∠BAD=∠ADCB﹣所以可求其正弦值,最后由正弦定理可得答案.【解答】解:由cos∠ADC=>0,则∠ADC<,又由知B<∠ADC可得B<,由sinB=,可得cosB=,又由cos∠ADC=,可得sin∠ADC=.从而sin∠BAD=sin(∠ADCB﹣)=sin∠ADCcosBcos﹣∠ADCsinB==.由正弦定理得,所以AD==.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化. 18.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n)•3n.(Ⅰ)求;(Ⅱ)证明:++…+>3n.【考点】6F:极限及其运算;R6:不等式的证明.菁优网版权所有【专题】11:计算题;14:证明题.【分析】(1)由题意知,由此可知答案.(2)由题意知,==,由此可知,当n≥1时,.【解答】解:(1),所以=;(2)当n=1时,;当n>1时,===所以,n≥1时,.【点评】本题考查数列的极限问题,解题时要注意公式的灵活运用. 19.(12分)如图,直三棱柱ABCA﹣1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1.(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1AC﹣1B﹣1的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角;LQ:平面与平面之间的位置关系.菁优网版权所有【专题】11:计算题;14:证明题.【分析】(1)欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线,即证DE与异面直线AB1与CD垂直相交即可;(2)将AB1平移到DG,故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角,作HK⊥AC1,K为垂足,连接B1K,由三垂线定理,得B1K⊥AC1,因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1B﹣1的平面角,在三角形B1KH中求出此角即可.【解答】解:(1)连接A1B,记A1B与AB1的交点为F.因为面AA1BB1为正方形,故A1B⊥AB1,且AF=FB1,又AE=3EB1,所以FE=EB1,又D为BB1的中点,故DE∥BF,DE⊥AB1.作CG⊥AB,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG,则DG∥AB1,故DE⊥DG,由三垂线定理,得DE⊥CD.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.(2)因为DG∥AB1,故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角,∠CDG=45°设AB=2,则AB1=,DG=,CG=,AC=.作B1H⊥A1C1,H为垂足,因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1,故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1,K为垂足,连接B1K,由三垂线定理,得B1K⊥AC1,因此∠B1KH为二面角A1AC﹣1B﹣1的平面角.B1H=,C1H=,AC1=,HK=tan∠B1KH=,∴二面角A1AC﹣1B﹣1的大小为arctan.【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解,考查考生的空间想象与推理计算的能力.三垂线定理是立体几何的最重要定理之一,是高考的热点,它是处理线线垂直问题的有效方法,同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量,用向量代数形式来处理立体几何问题,淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法,从而降低了思维难度,使解题变得程序化,这是用向量解立体几何问题的独到之处. 20.(12分)如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是P,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(Ⅰ)求P;(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率.【考点】C5:互斥事件的概率加法公式;C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】(1)设出基本事件,将要求事件用基本事件的来表示,将T1,T2,T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p.(Ⅱ)根据题意,B表示事件:电流能在M与N之间通过,根据电路图,可得B=A4+(1A﹣4)A1A3+(1A﹣4)(1A﹣1)A2A3,由互斥事件的概率公式,代入数据计算可得答案.【解答】解:(Ⅰ)根据题意,记电流能通过Ti为事件Ai,i=1、2、3、4,A表示事件:T1,T2,T3,中至少有一个能通过电流,易得A1,A2,A3相互独立,且,P()=(1p﹣)3=10.999=0.001﹣,计算可得,p=0.9;(Ⅱ)根据题意,B表示事件:电流能在M与N之间通过,有B=A4+(1A﹣4)A1A3+(1A﹣4)(1A﹣1)A2A3,则P(B)=P(A4+(1A﹣4)A1A3+(1A﹣4)(1A﹣1)A2A3)=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891.【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率,注意先明确事件之间的关系,进而选择对应的公式来计算. 21.(12分)已知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).(Ⅰ)求C的离心率;(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|•|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.【考点】J9:直线与圆的位置关系;KC:双曲线的性质;KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有【专题】11:计算题;14:证明题;16:压轴题.【分析】(Ⅰ)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于BD两点的中点为(1,3),可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a,b的关系式即求得离心率.(Ⅱ)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含a的代数式表示,即可求得a,则A点坐标可得(1,0),由于A在x轴上所以,只要证明2AM=BD即证得.【解答】解:(Ⅰ)由题设知,l的方程为:y=x+2,代入C的方程,并化简,得(b2a﹣2)x24a﹣2xa﹣2b24a﹣2=0,设B(x1,y1),D(x2,y2),则,,①由M(1,3)为BD的中点知.故,即b2=3a2,②故,∴C的离心率.(Ⅱ)由①②知,C的方程为:3x2y﹣2=3a2,A(a,0),F(2a,0),.故不妨设x1≤a﹣,x2≥a,,,|BF|•|FD|=(a2x﹣1)(2x2a﹣)=4x﹣1x2+2a(x1+x2)﹣a2=5a2+4a+8.又|BF|•|FD|=17,故5a2+4a+8=17.解得a=1,或(舍去),故=6,连接MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,从而MA=MB=MD,且MA⊥x轴,因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,且在点A处与x轴相切,所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问题的能力. 22.(12分)设函数f(x)=1e﹣x﹣.(Ⅰ)证明:当x>﹣1时,f(x)≥;(Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤,求a的取值范围.【考点】6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有【专题】15:综合题;16:压轴题.【分析】(1)将函数f(x)的解析式代入f(x)≥整理成ex≥1+x,组成新函数g(x)=exx1﹣﹣,然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g(x)的最小值g(0),进而g(x)≥g(0)可得证.(2)先确定函数f(x)的取值范围,然后对a分a<0和a≥0两种情况进行讨论.当a<0时根据x的范围可直接得到f(x)≤不成立;当a≥0时,令h(x)=axf(x)+f(x)﹣x,然后对函数h(x)进行求导,根据导函数判断单调性并求出最值,求a的范围.【解答】解:(1)当x>﹣1时,f(x)≥当且仅当ex≥1+x令g(x)=exx1﹣﹣,则g\'(x)=ex1﹣当x≥0时g\'(x)≥0,g(x)在[0,+∞)是增函数当x≤0时g\'(x)≤0,g(x)在(﹣∞,0]是减函数于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当x∈R时,g(x)≥g(0)时,即ex≥1+x所以当x>﹣1时,f(x)≥(2)由题意x≥0,此时f(x)≥0当a<0时,若x>﹣,则<0,f(x)≤不成立;当a≥0时,令h(x)=axf(x)+f(x)﹣x,则f(x)≤当且仅当h(x)≤0因为f(x)=1e﹣x﹣,所以h\'(x)=af(x)+axf\'(x)+f\'(x)﹣1=af(x)﹣axf(x)+axf﹣(x)(i)当0≤a≤时,由(1)知x≤(x+1)f(x)h\'(x)≤af(x)﹣axf(x)+a(x+1)f(x)﹣f(x)=(2a1﹣)f(x)≤0,h(x)在[0,+∞)是减函数,h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤;(ii)当a>时,由y=xf﹣(x)=x1﹣+ex﹣,y=1e′﹣x﹣,x>0时,函数y递增;x<0,函数y递减.可得x=0处函数y取得最小值0,即有x≥f(x).h\'(x)=af(x)﹣axf(x)+axf﹣(x)≥af(x)﹣axf(x)+af(x)﹣f(x)=(2a1ax﹣﹣)f(x)当0<x<时,h\'(x)>0,所以h\'(x)>0,所以h(x)>h(0)=0,即f(x)>综上,a的取值范围是[0,]【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力;导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在. 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