高中数学《空间向量与立体几何》试卷word版+答案(含解析)

出处:老师板报网 时间:2023-05-30

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空间向量与立体几何测试(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是()A.AB+BC=ACB.AB-BC=ACC.AB=BCD.|AB|=|BC|2.如图,在大小为45°的二面角AEFC中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(  )A.B.C.1D.3.在四面体OABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+,则(x,y,z)为(  )A.B.C.D.4.若点P(-4,-2,3)关于Oxy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c与e的和为(  )A.7B.-7C.-1D.15.如图,已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直,O是BE的中点,FM=MA,则线段OM的长为(  )A.3B.C.2D.6.已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个单位法向量是(  )A.(1,1,1)B.C.D.7.如图所示,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(  )A.相交B.平行C.垂直D.不能确定8.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(  )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。9.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是(  )A.PC与BDB.DA与PBC.PD与ABD.PA与CD10.若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则(  )A.cos〈a,b〉=-B.a⊥bC.a∥bD.|a|=|b|11.已知平面α内有一点A(2,-1,2),平面α的一个法向量为n=,则下列四个点中在平面α内的是(  )A.P1B.P2C.P3D.P412.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则以下四个结论正确的是(  )A.VPAA1D=B.点P必在线段B1C上C.AP⊥BC1D.AP∥平面A1C1D三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中横线上。13.已知空间向量c,d不共线,设向量a=kc+d,b=c-k2d,且a与b共线,则实数k的值为________。14.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,若AB=a,AC=b,AA1=c,则CM=________。15.如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,G是△BCD的中心,建立如图所示的空间直角坐标系,则AG的坐标为________,AB的坐标为________。16.已知三棱锥O ABC,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,存在一点D,使BD∥AC,DC∥AB,则D的坐标为________。四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)如图,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标为,点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求向量CD的坐标.(2)求AD与BC的夹角的余弦值.18.(本小题满分12分)如图,四棱锥POABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设OA=a,OC=b,OP=c,E,F分别是PC和PB的中点,用a,b,c表示BF,BE,AE,EF.19.(本小题满分12分)如图,设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若AE=OD+xOB+yOA,求x,y的值.20.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点.设Q是CC1上的点,则当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?21.(本小题满分12分)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点,求证:直线PB1⊥平面PAC.22.(本小题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,M是PD上一点,且BMPD.⊥(1)求异面直线PB与CM所成角的余弦值;(2)求点M到平面PAC的距离.参考答案1解析 对于空间中的任意向量,都有AB+BC=AC,选项A错误;若AB-BC=AC,则AC+BC=AB,而AC+CB=AB,据此可知BC=CB,即B,C两点重合,选项B错误;AB=BC,则A,B,C三点共线,选项C正确;|AB|=|BC|,则线段AB的长度与线段BC的长度相等,不一定有A,B,C三点共线,选项D错误。答案 C2解析 因为BD=BF+FE+ED,所以|BD|2=|BF|2+|FE|2+|ED|2+2BF·FE+2FE·ED+2BF·ED=1+1+1-=3-,故|BD|=。答案 D3解析 如图所示,连接AG1并延长,交BC于点E,则E为BC中点,AE=(AB+AC)=(OB-2OA+OC),AG1=AE=(OB-2OA+OC)。因为OG=3GG1=3(OG1-OG),所以OG=OG1。则OG=OG1=(OA+AG1)=(OA+OB-OA+OC)=OA+OB+OC,所以x=,y=,z=。答案 A4解析 由题意,知点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(-4,-2,-3),点P关于y轴对称的点的坐标为(4,-2,-3),故c=-3,e=4,故c+e=-3+4=1。答案 D5解析 由题意可建立以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系(图略),则E(0,0,6),B(6,6,0),M(6,0,4),O(3,3,3),所以|OM|==,即线段OM的长为。故选B。答案 B6解析 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),又AB=(0,-1,1),BC=(-1,1,0),则所以x=y=z,又因为单位向量的模为1,故只有B正确。答案 B7解析 如图,分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系。因为A1M=AN=a,所以M,N,所以MN=。又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以C1D1=(0,a,0)。所以MN·C1D1=0。所以MN⊥C1D1。因为C1D1是平面BB1C1C的一个法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C。答案 B8解析 由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0)。故DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0)。故DQ·PQ=0,DC·PQ=0,即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,故PQ⊥平面DCQ,又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ。答案 B9解析 因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,故PA·CD=0;因为由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,又AD⊥AB,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以AD⊥PB,故DA·PB=0;同理PD·AB=0。故选BCD。答案 BCD10解析 因为向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),所以|a|=,|b|=,a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2,cos〈a,b〉===-。由上知B,C不正确,A,D正确。答案 AD11解析 对于选项A中的点P1,P1A=,P1A·n=0,A成立,对于选项B中的点P2,P2A=,所以P2A·n=0。同理C,D不正确。故选AB。答案 AB12解析 对于A,因为P在平面BCC1B1上,平面BCC1B1∥平面AA1D,所以P到平面AA1D即为C到平面AA1D的距离,即为正方体棱长,所以VPAA1D=S△AA1D·CD=××1×1×1=,A错误;对于B,以D为原点可建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),P(x,1,z),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),所以AP=(x-1,1,z),BD1=(-1,-1,1),B1C=(-1,0,-1),因为AP⊥BD1,所以AP·BD1=1-x-1+z=0,所以x=z,即P(x,1,x),所以CP=(x,0,x),所以CP=-xB1C,即B1,P,C三点共线,所以P必在线段B1C上,B正确。对于C,因为AP=(x-1,1,x),BC1=(-1,0,1),所以AP·BC1=1-x+x=1,所以AP与BC1不垂直,C错误。对于D,因为A1(1,0,1),C1(0,1,1),D(0,0,0),所以DA1=(1,0,1),DC1=(0,1,1),设平面A1C1D的一个法向量为n=(x,y,z),所以令x=1,则z=-1,y=1,所以n=(1,1,-1),所以AP·n=x-1+1-x=0,即AP⊥n,所以AP∥平面A1C1D,D正确。故选BD。答案 BD13解析 因为c,d不共线,所以c≠0,且d≠0。由a与b共线知,存在λ∈R使a=λb成立,即kc+d=λ(c-k2d),整理得(k-λ)c+(1+λk2)d=0,所以解得k=λ=-1。答案 -114解析 CM=CC1+C1M=CC1+C1D=CC1+(A1D-A1C1)=CC1+=A1B1-A1C1+CC1=a-b+c。答案 a-b+c15解析 由题意可知,BG=BE=×=,所以AG==,所以AG=,AB=GB-GA=。答案  16解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z)。由BD∥AC,DC∥AB⇒BD∥AC,DC∥AB,因此,⇒即点D的坐标为(-1,1,2)。答案 (-1,1,2)17解析(1)过D作DE⊥BC于E,则DE=CD·sin30°=,OE=OB-BDcos60°=1-=,所以D点坐标为,又因为C(0,1,0),所以CD=.(2)依题设,A点坐标为,所以AD=,BC=(0,2,0),则AD与BC的夹角的余弦值为cos〈AD,BC〉==-.18解析BF=BP=OP-OB=OP-(OA+OC)=-a-b+c;BE=OE-OB=(OP+OC)-(OA+OC)=-OA-OC+OP=-a-b+c;AE=OE-OA=(OP+OC)-OA=-a+b+c;EF=CB=OA=a.19解析因为AE=AB+BC+CE=OB-OA+OC-OB-OC=-OA+OC=-OA+(OD+DC)=-OA+(OD+AB)=-OA+OD+(OB-OA)=-OA+OD+OB,所以x=,y=-.20解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),所以OA=(1,-1,0),OP=(-1,-1,1),=(-2,-2,2).设平面PAO的法向量为n1=(x,y,z),则⇒令x=1,则y=1,z=2,所以平面PAO的一个法向量为n1=(1,1,2).若平面D1BQ∥平面PAO,则n1也是平面D1BQ的一个法向量.设Q(0,2,c),则BQ=(-2,0,c),n1·BQ=0,即-2+2c=0,所以c=1,这时n1·=-2-2+4=0.所以当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.21证明依题设,以D为坐标原点,如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则C(1,0,0),P(0,0,1),A(0,1,0),B1(1,1,2),于是CA=(-1,1,0),CP=(-1,0,1),=(1,1,1),所以CA·=(-1,1,0)·(1,1,1)=0,CP·=(-1,0,1)·(1,1,1)=0,故CP⊥,CA⊥,即PB1CP⊥,PB1CA⊥,又CP∩CA=C,且CP⊂平面PAC,CA⊂平面PAC.故直线PB1⊥平面PAC.22解析(1)分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,A,B,C,D,P,则PB=,PC=,PD=,设PM=λPD(0≤λ≤1),则PM=,所以BM=PM-PB=,由BMPD⊥知BM·PD=0+16λ-4=0,所以λ=,M为PD的中点,所以M,CM=,cos〈PB,CM〉===-.所以异面直线PB与CM所成角的余弦值为.(2)AP=,AC=,设平面PAC的法向量为n=,由得所以z=0,取x=2,得y=-1,所以n=是平面PAC的一个法向量.所以点M到平面PAC的距离为==.
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