北京市宣武区高三一模(数学理科)+参考答案

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北京市宣武区2009—2010学年度高三第二学期第一次质量检测数学试题（理）2010．4本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．设集合3.022},032|{mxxxP，则下列关系中正确的是（）A．PmB．PmC．Pm}{D．}{m2．设平面向量|3|,//),,2(),2,1(bay则若baba等于（）A．5B．6C．17D．263．若复数z满足,21iiz则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．设函数,)21()(23xxxf则其零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．若}{na为等差数列，nS是其前n项和，且32211S，则6tana的值为（）A．3B．3C．3D．336．若椭圆122nymx与双曲线qpnmqypx,,,(122均为正数）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则||||21PFPF等于（）A．2mpB．mpC．pmD．22pm7．某单位员工按年龄分为A，B，C三级，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451则该单位员工总数为（）A．110B．100C．90D80．8．设函数)(xfy的定义域为R+，若对于给定的正数K，定义函数,)(),(,)(,)(KxfxfKxfKxfK，则当函数1,1)(Kxxf时，定积分241)(dxxfk的值为（）A．2ln2+2B．2ln2-1C．2ln2D．2ln2+1第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是.10．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm3.11．若A，B，C是⊙O上三点，PC切⊙O于点C，40,110BCPABC，则AOB的大小为.12．若直线03:yxl与曲线sin2cos2:yaxC（为参数，0a）有两个公共点A，B，且|AB|=2，则实数a的值为；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C的极坐标方程为.13．若A，B，C为ABC的三个内角，则CBA14的最小值为.14．有下列命题：①若)(xf存在导函数，则;)]\'2([)2(\'xfxf②若函数;)]\'2([)12(\',sincos)(44xfhxxxh则③若函数)2100)(2009()2)(1()(xxxxxg，则;!2009)2010(\'g④若三次函数,)(23dcxbxaxxf则\"0\"cba是“)(xf有极值点”的充要条件.其中真命题的序号是.三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题共13分）已知函数.cossin)32cos()(22xxxxf（I）求函数)(xf的最小正周期及图象的对称轴方程；（II）设函数),()]([)(2xfxfxg求)(xg的值域.16．（本小题共13分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，EADBCPBPA.21为AB中点，F为PC中点.（I）求证：PE⊥BC；（II）求二面角C—PE—A的余弦值；（III）若四棱锥P—ABCD的体积为4，求AF的长.17．（本小题共13分）某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，或多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示.统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路1231011.6公路214210.8（I）记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望;E（II）假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？（注：毛利润=销售收入-运费）18．（本小题共13分）已知函数).,()1(31)(223Rbabxaaxxxf（I）若x=1为)(xf的极值点，求a的值；（II）若)(xfy的图象在点（1，)1(f）处的切线方程为03yx，（i）求)(xf在区间[-2，4]上的最大值；（ii）求函数)(])2()(\'[)(RmemxmxfxGx的单调区间.19．（本小题共14分）已知椭圆)0(12222babyax的离心率为.36（I）若原点到直线0byx的距离为,2求椭圆的方程；（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45的直线l和椭圆交于A，B两点.（i）当3||AB，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点M，若OBOAOM，求实数,满足的关系式.20．（本小题共14分）已知数列}{na满足11a，点),(1nnaa在直线12xy上.（I）求数列}{na的通项公式；（II）若数列}{nb满足),2(111,*12111Nnnaaaababnnn且求11)1(nnnnabab的值；（III）对于（II）中的数列}{nb，求证：nnbbbbbb2121310)1()1)(1().(*Nn参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且仅有一个符合题目要求的）1—4DABB5—8CCBD二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分）9．0.1210．611．60°12．02cos4,2213．914．③三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）解：（I）xxxxxf22cossin2sin23221)()62sin(2cos2sin232cos21xxxx∴最小正周期22T由)(262Zkkx，得)(32Zkkx函数图象的对称轴方程为).(32Zkkx…………7分（II）.41]21)62[sin()62sin()62(sin)()]([)(222xxxxfxfxg当21)62sin(x时，)(xg取得最小值41，当1)62sin(x时，)(xg取得最大值2，所以)(xg的值域为].2,4[…………13分16．（本题满分13分）解：（I）ABCDBCABCDPA平面平面,∴PA⊥BC,90ABCABBC∴BC⊥平面PAB又E是AB中点，PE平面PAB∴BC⊥PE.…………6分（II）建立直角坐标系,1,ABxyzA设则B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），)0,0,21(E)0,1,21(),1,0,21(),0,1,0(ECEPBC由（I）知，BC⊥平面PAE，BC是平面PAE的法向量.设平面PEC的法向量为),,,(zyxn则00EPnECn且)1,1,2(,21,21nxzxy,66||||||cosBCnBCn二面角C—PE—A的余弦值为.66…………10分（III）连结BC，设AB=a，2,4222313aaaaaaVABCDPPAC是直角三角形，.321PCAF…………13分17．（本题满分13分）解：（I）汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润4.286.130万元堵车时公司获得的毛利润4.2716.130万元∴汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为28.427.4P1091013.281014.271094.28E万元…………6分（II）设汽车走公路2时获得的毛利润为万元不堵车时获得的毛利润2.3018.030万元堵车时的毛利润2.2728.030万元∴汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为30.227.2P21217.28212.27212.30E万元EE∴选择公路2可能获利更多.…………13分18．（本题洪分13分）解：（1）.12)(22aaxxxf1x是极值点0)1(f，即022aa0x或2.…………………………………………………………3分（2）))1(,1(f在03yx上.2)1(f∵（1，2）在)(xfy上baa13122又11211)1(2aakf38,10122baaa.2)(,3831)(222xxxfxxxf（i）由0)(xf可知x=0和x=2是)(xf的极值点.,8)4(,4)2(,34)2(,38)0(ffff)(xf在区间[－2，4]上的最大值为8.…………………………8分（ii）xemmxxxG)()(2])2([)()2()(22xmxemmxxeemxxGxxx令0)(xG，得mxx2,0当m=2时，0)(xG，此时)(xG在),(单调递减当2m时：x(－∞，2，－m)2－m（2－m，0）0（0，+∞）G′（x）－0+0－G（x）减增减当时G（x）在（－∞，2，－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增.当2m时：x（－∞，0）0（0，2－m）2－m（2－m+∞）G′（x）－0+0－G（x）减增减此时G（x）在（－∞，0），（2－m+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增，综上所述：当m=2时，G（x）在（－∞，+∞）单调递减；2m时，G（x）在（－∞，2－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增；2m时，G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增.………………………………………………………………13分19．（本题满份14分）解：（1）222bbd323622acace22222324aacba解得.4,1222ba椭圆的方程为.141222yx…………………………………………4分（2）（i）.232,3,36222222bacbac椭圆的方程可化为：22233byx①易知右焦点)0,2(bF，据题意有AB：bxy2②由①，②有：0326422bbxx③设),(),,(2211yxByxA，33424244872)11()()(||222222212212bbbbyyxxAB1b…………………………………………………………8分（2）（ii）显然OA与OB可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM，有且只有一对实数λ，μ，使得等OBOAOM,成立.设M（x，y），,,),,(),(),(21212211yyyxxxyxyxyx又点M在椭圆上，22212213)(3)(byyxx④由③有：43,22322121bxxbxx则22121212121216)(234)2)(2(33bxxbxxbxbxxxyyxx0693222bbb⑤又A，B在椭圆上，故有222222212133,33byxbyx⑥将⑥，⑤代入④可得：.122………………………………14分20．（本题满分14分）解：（1）∵点),(1nnaa在直线12xy上，,121nnaa}1{),1(211nnnaaa是以2为首项，2为公比的等比数列，).(12Nnann………………………………………………3分（2）2(111121naaaabnnn且)Nn，nnnnnnnnnaababaaaaab1,111111121112(0)1(11nababnnnn且)Nn；当n=1时，.3)1(2112abab…………………………7分（3）由（2）知2211),2(1abnaabbnnnn)11()11)(11(21nbbb11132211221111111111nnnnnnnbbbbbbbbbbbbbbbb)111(221121111114332211nnnnnnnnaaaabbaaaaaaaabbb2k时，)121121(2)12)(12(2)12)(12(1212111111kkkkkkkkk12131111121nnaaa35)12131(21)]121121()121121[(211132nnn，310)11()11)(11(21nbbb，即.310)1()1)(1(2121nnbbbbbb…………………………14分