北京市西城区抽样测试高考(数学理科试卷)+参考答案word版

出处:老师板报网 时间:2023-04-18

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北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合要求的一项1.设集合{1,2,3,4,5}U,{1,2,3}A,{3,4,5}B,则CU()AB等于A.{1,2,3,4,5}B.{1,2,4,5}√C.{1,2,5}D.{3}2.“ln1x”是“1x”的A.充分不必要条件√B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若0ba,则下列不等式中正确的是A.11abB.abC.2baab√D.abab4.如图,三棱柱111ABCABC的侧棱长和底面边长均为2,且侧棱1AA底面ABC,其正(主)视图是边长为2的正方形,则此三棱柱侧(左)视图的面积为A.3B.23√C.22D.45.数列{}na满足11a,23a,1(2)nnana(1,2,n),则3a等于A.15√B.10C.9D.56.在数列{}na中,11a,1nnaan,2n.为计算这个数列前10项的和,现给出该问题算法的程序框图(如图所示),则图中判断框(1)处合适的语句是A.8iB.9iC.10i√D.11i7.设集合{129}S,,,,集合123{,,}Aaaa是S的子集,且123,,aaa满足123aaa,326aa,那么满足条件的子集A的个数为A.78B.76C.84D.83√正(主)视图ABCA1B1C1112结束开始输出0,0,0ias否是(1)ssa1iiaai8.如图,在等腰梯形ABCD中,//ABCD,且2ABAD.设DAB,(0,)2,以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为1e,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为2e,则A.随着角度的增大,1e增大,12ee为定值B.随着角度的增大,1e减小,12ee为定值√C.随着角度的增大,1e增大,12ee也增大D.随着角度的增大,1e减小,12ee也减小二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.某区高二年级的一次数学统考中,随机抽取200名同学的成绩,成绩全部在50分至100分之间,将成绩按如下方式分成5组:第一组,成绩大于等于50分且小于60分;第二组,成绩大于等于60分且小于70分;……第五组,成绩大于等于90分且小于等于100分,据此绘制了如图所示的频率分布直方图.则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有______名.10.在261()xx的展开式中,常数项是______.(结果用数值表示)11.如图,ABC是圆的内接三角形,PA切圆于点A,PB交圆于点D.若60ABC,1PD,8BD,则PAC________,PA________.12.圆12cos,:22sinxCy(为参数)的半径为______,若圆C与直线0xym相切,则m______.13.设,,abc为单位向量,,ab的夹角为60,则()abcc的最大值为_____.14.已知函数()elnxfxax的定义域是D,关于函数()fx给出下列命题:PABCD60807090100500分数频率/组距0.0250.0050.045ABDC①对于任意(0,)a,函数()fx是D上的减函数;②对于任意(,0)a,函数()fx存在最小值;③存在(0,)a,使得对于任意的xD,都有()0fx成立;④存在(,0)a,使得函数()fx有两个零点.其中正确命题的序号是_____.(写出所有正确命题的序号)②、④三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)如图,在四边形ABCD中,3AB,2ADBCCD,60A.(Ⅰ)求sinABD的值;(Ⅱ)求BCD的面积.16.(本小题满分13分)一个盒子中装有5张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是1、2、3、4、5,现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若从盒子中有放回的取3次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率;(Ⅱ)若从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数X的分布列和期望.17.(本小题满分13分)如图,四棱柱1111ABCDABCD中,1AD平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱12AA.(Ⅰ)求证:1//CD平面11ABBA;(Ⅱ)求直线1BD与平面11ACD所成角的正弦值;ABCDD1A1B1C1ABCD(Ⅲ)求二面角11DACA的余弦值.18.(本小题满分13分)已知0a,函数2()fxxax.设1(,)2ax,记曲线()yfx在点11(,())Mxfx处的切线为l,l与x轴的交点是2(,0)Nx,O为坐标原点.(Ⅰ)证明:21212xxxa;(Ⅱ)若对于任意的1(,)2ax,都有916aOMON成立,求a的取值范围.19.(本小题满分14分)如图,椭圆22:14yCx短轴的左右两个端点分别为,AB,直线:1lykx与x轴、y轴分别交于两点,EF,与椭圆交于两点,CD,.(Ⅰ)若CEFD,求直线l的方程;(Ⅱ)设直线,ADCB的斜率分别为12,kk,若12:2:1kk,求k的值.20.(本小题满分14分)在数列{}na和{}nb中,nnaa,(1)nbanb,1,2,3,n,其中2a且a*N,bR.ADCBxOylEF(Ⅰ)若11ab,22ab,求数列{}nb的前n项和;(Ⅱ)证明:当2,2ab时,数列{}nb中的任意三项都不能构成等比数列;(Ⅲ)设123{,,,}Aaaa,123{,,,}Bbbb,试问在区间[1,]a上是否存在实数b使得CAB.若存在,求出b的一切可能的取值及相应的集合C;若不存在,试说明理由.北京市西城区2010年抽样测试参考答案高三数学试卷(理科)2010.5一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号12345678答案BACBACDB二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.4010.1511.60,312.2,3或113.3114.②④注:两空的题目,第一个空2分,第二个空3分.14题②④选对一个命题得两分,选出错误的命题即得零分.三、解答题:(本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.)15、解:(Ⅰ)已知60A,由余弦定理得2222cos7BDABADABADA,解得7BD,…………………3分由正弦定理,sinsinADBDABDA,所以sinsinADABDABD.…………………5分2321277.…………………7分ABCD(Ⅱ)在BCD中,2222cosBDBCCDBCCDC,所以744222cosC,1cos8C,…………………9分因为(0,)C,所以37sin8C,…………………11分所以,BCD的面积137sin24SBCCDC.…………………13分16、解:(Ⅰ)设A表示事件“有放回地抽取3次卡片,每次抽取一张,恰有两次取到的卡片上数字为偶数”,由已知,每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25,…………………2分则2232336()()55125PAC.…………………5分(Ⅱ)依题意,X的可能取值为1,2,3,4.…………………6分2(1)5PX,…………………7分323(2)5410PX,…………………9分3221(3)5435PX,…………………10分3211(4)54310PX,…………………11分所以X的分布列为X1234P2531015110…………………12分2311()12342510510EX.…………………13分17、(Ⅰ)证明:四棱柱1111ABCDABCD中,11//BBCC,又1CC面11ABBA,所以1//CC平面11ABBA,…………………2分ABCD是正方形,所以//CDAB,又CD面11ABBA,所以//CD平面11ABBA,…………………3分所以平面11//CDDC平面11ABBA,所以1//CD平面11ABBA.…………………4分(Ⅱ)解:ABCD是正方形,ADCD,因为1AD平面ABCD,所以1ADAD,1ADCD,如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,.…………………5分在1ADA中,由已知可得13AD,所以11(0,0,0),(0,0,3),(1,0,0),(1,1,3)DAAC,11(0,1,3),(1,0,3),(1,1,0)BDB,1(2,1,3)BD,………6分因为1AD平面ABCD,所以1AD平面1111ABCD,111ADBD,又1111BDAC,所以11BD平面11ACD,…………………7分所以平面11ACD的一个法向量为(1,1,0)n,…………………8分设1BD与n所成的角为,则1133cos428BDBDnn,…………………9分所以直线1BD与平面11ACD所成角的正弦值为34.…………………10分(Ⅲ)解:设平面11ACA的法向量为(,,)abcm=,则1110,0ACAAmm,所以0ab,30ac,令3c,可得(3,3,3)m=,…………………12分ABCDD1A1B1C1xyz设二面角11DACA的大小为,则642cos7221mnmn.所以二面角11DACA的余弦值为427.…………………13分18、解:(Ⅰ)对()fx求导数,得()2fxxa,故切线l的斜率为12xa,…………………2分由此得切线l的方程为21111()(2)()yxaxxaxx.…………………4分令0y,得22111211122xaxxxxxaxa.…………………5分(Ⅱ)由2211111(,),(,0)2xMxxaxNxa,得3112xOMONxa.…………6分所以0a符合题意,………………7分当0a时,记3111()2xgxxa,1(,)2ax.对1()gx求导数,得211121(43)()(2)xxagxxa,…………………8分令1()0gx,得13(,)42aax.当1(,)2ax时,1()gx的变化情况如下表:1x3(,)4a34a3(,)42aa1()gx0所以,函数1()gx在3(,)4a上单调递减,在3(,)42aa上单调递增,……10分从而函数1()gx的最小值为2327()432aga.…………………11分依题意22793216aa,…………………12分解得23a,即a的取值范围是2(,)3.…………………13分综上,a的取值范围是2(,)3或0a.19、解:(Ⅰ)设1122(,),(,)CxyDxy,由2244,1xyykx得22(4)230kxkx,222412(4)1648kkk,12224kxxk,12234xxk,…………………2分由已知1(,0),(0,1)EFk,又CEFD,所以11221(,)(,1)xyxyk…………………4分所以121xxk,即211xxk,…………………5分所以2214kkk,解得2k,…………………6分符合题意,所以,所求直线l的方程为210xy或210xy.…………………7分(Ⅱ)2121ykx,1211ykx,12:2:1kk,所以2112(1)2(1)1yxyx,…………………8分平方得22212212(1)4(1)yxyx,…………………9分又221114yx,所以22114(1)yx,同理22224(1)yx,代入上式,计算得2112(1)(1)4(1)(1)xxxx,即121235()30xxxx,…………………12分所以231030kk,解得3k或13k,…………………13分因为2112(1)2(1)1yxyx,12,(1,1)xx,所以12,yy异号,故舍去13k,所以3k.…………………14分20、解:(Ⅰ)因为11ab,所以1aab,1b,…………………1分由22ab,得2210aa,所以1212a,…………………3分因为2a且a*N,所以2a,…………………4分所以31nbn,{}nb是等差数列,所以数列{}nb的前n项和2131()222nnnSbbnn.…………………5分(Ⅱ)由已知32nbn,假设32m,32n,32t成等比数列,其中,,mnt*N,且彼此不等,则2(32)(32)(32)nmt,…………………6分所以29622932322nnmtmt,所以233(2)2nmtmtn,若20mtn,则2330nmt,可得mt,与mt矛盾;………7分若20mtn,则2mtn为非零整数,(2)2mtn为无理数,所以233nmt为无理数,与233nmt是整数矛盾.…………………9分所以数列{}nb中的任意三项都不能构成等比数列.(Ⅲ)设存在实数[1,]ba,使CAB,设0mC,则0mA,且0mB,设0()tmat*N,0(1)()masbs*N,则(1)taasb,所以1tabsa,因为,,ats*N,且2a,所以tab能被1a整除.…………………10分(1)当1t时,因为[1,]ba,[0,1]aba,所以1absa*N;…………………11分(2)当2()tnn*N时,22212[(1)1](1)(1)1nnnnababaCab,由于[1,]ba,所以1[0,1]ba,011ba,所以,当且仅当1b时,tab能被1a整除.…………………12分(3)当21()tnn*N时,212121121[(1)1](1)(1)1nnnnababaCab,由于[1,]ba,所以1[2,1]ba,所以,当且仅当11ba,即ba时,tab能被1a整除.……13分综上,在区间[1,]a上存在实数b,使CAB成立,且当1b时,2{,}nCyyan*N;当ba时,21{,}nCyyan*N.…………14分
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