最新6年高考4年模拟试题试卷--第六章第一节等差数列、等比数列的概念及求和(答案解析)

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第六章数列第一节等差数列、等比数列的概念及求和第一部分六年高考题荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010浙江理）（3）设nS为等比数列na的前n项和，2580aa，则52SS（A）11（B）5（C）8（D）11解析：通过2580aa，设公比为q，将该式转化为08322qaa，解得q=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题2.（2010全国卷2理）（4）.如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa（A）14（B）21（C）28（D）35【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】173454412747()312,4,7282aaaaaaaaaaa3.（2010辽宁文）（3）设nS为等比数列na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】B解析：选B.两式相减得，3433aaa，44334,4aaaqa.4.（2010辽宁理）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，nS为其前n项和。已知a2a4=1,37S,则5S（A）152(B)314(C)334(D)172【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a2a4=1可得2411aq，因此121aq，又因为231(1)7Saqq，联力两式有11(3)(2)0qq，所以q=12,所以5514(1)3121412S，故选B。5.（2010全国卷2文）(6)如果等差数列na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+•••…+7a=（A）14(B)21(C)28(D)35【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。∵34512aaa，∴44a12717417()7282aaaaaa6.（2010安徽文）(5)设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值为（A）15(B)16(C)49（D）64【答案】A【解析】887644915aSS.【方法技巧】直接根据1(2)nnnaSSn即可得出结论.7.（2010浙江文）(5)设ns为等比数列{}na的前n项和，2580aa则52SS(A)-11(B)-8(C)5(D)11解析：通过2580aa，设公比为q，将该式转化为08322qaa，解得q=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式8.（2010重庆理）（1）在等比数列na中，201020078aa，则公比q的值为A.2B.3C.4D.8【答案】A解析：8320072010qaa2q9.（2010广东理）4.已知{}na为等比数列，Sn是它的前n项和。若2312aaa，且4a与27a的等差中项为54，则5S=A．35B.33C.31D.29【答案】C解析：设{na}的公比为q，则由等比数列的性质知，231412aaaaa，即42a。由4a与27a的等差中项为54知，475224aa，即7415151(2)(22)24244aa．∴37418aqa，即12q．3411128aaqa，即116a．10.（2010广东文）11.（2010山东理）12.（2010重庆文）（2）在等差数列na中，1910aa，则5a的值为（A）5（B）6（C）8（D）10【答案】A解析：由角标性质得1952aaa，所以5a=5二、填空题1.（2010辽宁文）（14）设nS为等差数列{}na的前n项和，若36324SS，，则9a。解析：填15.316132332656242SadSad,解得112ad，91815.aad2.（2010福建理）11．在等比数列na中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式na．【答案】n-14【解析】由题意知11141621aaa，解得11a，所以通项nan-14。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。3.（2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________解析：考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：22(),kkkyaaxa当0y时，解得2kax，所以1135,1641212kkaaaaa。三、解答题1.（2010上海文）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。已知数列na的前n项和为nS，且585nnSna，*nN(1)证明：1na是等比数列；(2)求数列nS的通项公式，并求出使得1nnSS成立的最小正整数n.解析：(1)当n1时，a114；当n≥2时，anSnSn15an5an11，所以151(1)6nnaa，又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；(2)由(1)知：151156nna，得151156nna，从而1575906nnSn(nN*)；由Sn1>Sn，得15265n，562log114.925n，最小正整数n15．2.（2010陕西文）16.（本小题满分12分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d＝1812dd，解得d＝1，d＝0（舍去），故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知2ma=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+…+2n=2(12)12n=2n+1-2.3.（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知{}na是各项均为正数的等比数列，且1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设21()nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT。【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。（1）设出公比根据条件列出关于1a与d的方程求得1a与d，可求得数列的通项公式。（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。4.（2010江西理）22.（本小题满分14分）证明以下命题：（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b0由a2+a7＝16.得12716ad①由3655,aa得11(2)(5)55adad②由①得12167ad将其代入②得(163)(163)220dd。即22569220d24,0,2,11(1)221ndddann1又代入得a①（2）令121121,,2nnnnnnnbcacccaccc则有两式相减得111111111,(1)1,22,2(2),22222,(1)2(2)nnnnnnnnnnnaacaaaccnnbbanbn由得即当时，又当n=1时，于是3411232222nnnSbbbb=234122222n-4=1222(21)426,2621nnnnS即27.（2009福建卷文）等比数列{}na中，已知142,16aa（I）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若35,aa分别为等差数列{}nb的第3项和第5项，试求数列{}nb的通项公式及前n项和nS。解：（I）设{}na的公比为q由已知得3162q，解得2q（Ⅱ）由（I）得28a，532a，则38b，532b设{}nb的公差为d，则有1128432bdbd解得11612bd从而1612(1)1228nbnn所以数列{}nb的前n项和2(161228)6222nnnSnn28（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）已知112211,4,4,,nnnnnnaaaaaabnNa．（Ⅰ）求123,,bbb的值；（Ⅱ）设1,nnnncbbS为数列nc的前n项和，求证：17nSn；（Ⅲ）求证：22116417nnnbb．解：（Ⅰ）2344,17,72aaa，所以12317724.,417bbb（Ⅱ）由214nnnaaa得2114nnnnaaaa即114nnbb所以当2n≥时，4nb于是1121,17,4117(2)nnnncbbcbbbn≥所以1217nnScccn（Ⅲ）当1n时，结论21117464bb成立当2n≥时，有11111111|44|||||17nnnnnnnnnnbbbbbbbbbb≤12212121111||||(2)17176417nnnnbbbbn≤≤≤≥所以2121221nnnnnnnnbbbbbbbb≤1122*211()(1)11111111717()()()()1417171746417117nnnnnnnN2005—2008年高考题一、选择题1.（2008天津）若等差数列{}na的前5项和525S，且23a，则7a()A.12　　　　B.13　　　　　C.14　　　　D.15答案B2.（2008陕西）已知{}na是等差数列，124aa，7828aa，则该数列前10项和10S等于（）A．64B．100C．110D．120答案B3.（2008广东）记等差数列{}na的前n项和为nS，若112a，420S，则6S（）A．16B．24C．36D．48答案D4.（2008浙江）已知na是等比数列，41252aa，，则13221nnaaaaaa=（）A.16（n41）B.6（n21）C.332（n41）D.332（n21）答案C5.（2008四川）已知等比数列na中21a，则其前3项的和3S的取值范围是()A.,1　　　　　B.,01,　C.3,　　　　　D.,13,答案D6.（2008福建)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为()A.63B.64C.127D.128答案C7.（2007重庆）在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（　　）A．2B．3C．4D．8答案A8.（2007安徽）等差数列na的前n项和为xS若＝则432,3,1Saa（　　）A．12B．10C．8D．6答案B9.（2007辽宁）设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（　　）A．63B．45C．36D．27答案B10.(2007湖南)在等比数列{}na（nN*）中，若11a，418a，则该数列的前10项和为（　　）A．4122B．2122C．10122D．11122答案B11.(2007湖北)已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（　　）A．2B．3C．4D．5答案D12.(2007宁夏)已知abcd，，，成等比数列，且曲线223yxx的顶点是()bc，，则ad等于（　　）A．3B．2C．1D．2答案D13.(2007四川)等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（　　）A．9B．10C．11D．12答案B14.（2006湖北）若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且310abc，则aA．4B．2C．－2D．－4答案D解析由互不相等的实数,,abc成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由310abc可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又,,cab成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D15.（2005福建）已知等差数列}{na中，12497,1,16aaaa则的值是（）A．15B．30C．31D．64答案A16.（2005江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=()A.33B.72C.84D.189答案C二、填空题17.（2008四川）设等差数列na的前n项和为nS，若4510,15SS，则4a的最大值为______.答案418.（2008重庆)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16=.,,abc,,cab答案-7219.(2007全国I)等比数列na的前n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则na的公比为　　　　　　．答案1320.（2007江西）已知等差数列na的前n项和为nS，若1221S，则25811aaaa．答案721.（2007北京）若数列na的前n项和210(123)nSnnn，，，，则此数列的通项公式为；数列nna中数值最小的项是第项．答案211n22.（2006湖南）数列na满足：1.2,111naaann，2，3….则naaa21.答案12n解析数列na满足：111,2,1nnaaan，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴naaa21.三、解答题23.（2008四川卷）．设数列na的前n项和为nS，已知21nnnbabS（Ⅰ）证明：当2b时，12nnan是等比数列；（Ⅱ）求na的通项公式解由题意知12a，且21nnnbabS212121nn11121nnnbabS两式相减得1121nnnnbaaba即12nnnaba①（Ⅰ）当2b时，由①知122nnnaa于是1122212nnnnnanan122nnan又111210na，所以12nnan是首项为1，公比为2的等比数列。（Ⅱ）当2b时，由（Ⅰ）知1122nnnan，即112nnan当2b时，由由①得1111122222nnnnnababb22nnbbab122nnbab因此11112222nnnnababb212nbbb得121122222nnnnabbnb24.（2008江西卷）数列{}na为等差数列，na为正整数，其前n项和为nS，数列{}nb为等比数列，且113,1ab，数列{}nab是公比为64的等比数列，2264bS.（1）求,nnab；（2）求证1211134nSSS.解：（1）设{}na的公差为d，{}nb的公比为q，则d为正整数，3(1)nand，1nnbq依题意有1363(1)22642(6)64nnndadndabqqbqSbdq①由(6)64dq知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，解①得2,8dq故132(1)21,8nnnannb（2）35(21)(2)nSnnn∴121111111132435(2)nSSSnn11111111(1)2324352nn11113(1)22124nn25..（2008湖北）.已知数列{}na和{}nb满足：1a,124,(1)(321),3nnnnnaanban其中为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数，证明数列{}na不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{}nb是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0ab,nS为数列{}nb的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都有naSb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即,094949494)494()332(222矛盾.所以｛an｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(32an-2n+14)=32(-1)n·（an-3n+21）=-32bn又b1x-(λ+18),所以当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：当λ≠－18时，b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0，∴321nabb(n∈N+).故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）·（－32）n-1，于是可得Sn=-.321·)18(53n）－（－　要使a3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有ab，则双曲线122byax的离心率e等于（）A．23B．25C．5017D．3答案B11、（2009深圳一模）在等差数列}{na中，69327aaa，nS表示数列}{na的前n项和，则11SA．18B．99C．198D．297答案B二、填空题1、（2009上海十四校联考）若数列}{),,(}{*221nnnnaNnppaaa则称为正常数满足为“等方比数列”。则“数列}{na是等方比数列”是“数列}{na是等方比数列”的条件2、（2009上海八校联考）在数列na中，1202aa,，且)()1(12Nnaannn，100S_________。答案25503、（2009江门一模）nS是等差数列na的前n项和，若11S，42S，则na．答案12n4、（2009宁波十校联考）已知{}na是等差数列，12784,28aaaa，则该数列前10项和10S=________答案100三、解答题1、（2009杭州二中第六次月考）数列{}na中，212,,atat其中0t且1t，xt是函数311()3[(1)]1(2)nnnfxaxtaaxn的一个极值点．（Ⅰ）证明:数列1{}nnaa是等比数列；（Ⅱ）求na．（1）由题意得()0,ft即1133[(1)]0nnnattaa，11(),(2)nnnnaataan，当1t时，数列1{}nnaa是以2tt为首项，t为公比的等比数列，（2）211(),nnnaattt即11,nnnnatat10,nnatat()nnatnN，此式对1t也成立．2、（2009滨州一模）已知曲线:1,Cxy过C上一点(,)nnnAxy作一斜率为12nnkx的直线交曲线C于另一点111(,)nnnAxy，点列nA的横坐标构成数列nx，其中1117x．（I）求nx与1nx的关系式；（II）令nb1123nx，求证：数列nb是等比数列；（III）若3nnncb（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有cn+1＞cn成立。(1)解：过(,)nnnAxy的直线方程为1()2nnnyyxxx联立方程1()21nnnyyxxxxy消去y得21()1022nnnnxxyxx∴12nnnxxx即12nnnxxx（2）11112321113223233(2)2111111322323233(2)nnnnnnnnnnnnnnnxxxxbxxxxxbxxxx∴nb是等比数列1111223bx，2q;（III）由（II）知，(2)nnb，要使1nncc恒成立由1113(2)nnnncc3(2)nn=233(2)nn＞0恒成立，即（－1）nλ＞-（23）n－1恒成立．ⅰ。当n为奇数时，即λ<（23）n－1恒成立．又（23）n－1的最小值为1．∴λ<1．10分ⅱ。当n为偶数时，即λ>－（23）n-1恒成立，又－（23）n－1的最大值为－23，∴λ>－23．11分即－23<λ<1，又λ≠0，λ为整数，∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有1nncc．12分3、（2009台州市第一次调研）已知数列na的首项211a，前n项和nnanS2.（Ⅰ）求证：nnanna21;（Ⅱ）记nnSbln，nT为nb的前n项和，求nenT的值.解：（1）由nnanS2①，得121)1(nnanS②，②-①得：nnanna21.4分（2）由nnanna21求得)1(1nnan.7分∴12nnanSnn，)1ln(lnlnnnSbnn11分(ln1ln2)(ln2ln3)(ln3ln4)(lnln(1))ln(1)nTnnn∴1)1ln(nenenTn.14分4、（2009上海青浦区）设数列na的前n和为nS，已知311S，3132S，3163S，3644S，一般地，)().12(3412)(),12(3412)1(212为偶数时当为奇数时当nnnnSnnn（*Nn）．（1）求4a；（2）求na2；（3）求和：nnaaaaaaaa212654321．（1）164a；……3分（2）当kn2时，（*Nk）kkkkkkkkSSa22222212222)]12(3412)2([)12(3412)2(，……6分所以，nna42（*Nn）．……8分（3）与（2）同理可求得：)12(3112nan，……10分设nnaaaaaaaa212654321=nT，则]4)12(45434[3132nnnT，（用等比数列前n项和公式的推导方法）]4)12(45434[3141432nnnT，相减得]4)12()444(24[313132nnnnT，所以94)14(2732491211nnnnT．……14分5、（2009上海八校联考）已知点列1122(1,),(2,),,(,),nnByByBny(*)nN顺次为直线4xy上的点，点列1122(,0),(,0),,(,0),nnAxAxAx(*)nN顺次为x轴上的点，其中1xa(01)a，对任意的*nN，点nA、nB、1nA构成以nB为顶点的等腰三角形。（1）证明:数列ny是等差数列；（2）求证:对任意的*nN，nnxx2是常数，并求数列nx的通项公式；（3）对上述等腰三角形1nnnABA添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）解:(1)依题意有nny4,于是411nnyy.所以数列ny是等差数列.　　　　　　　　.4分(2)由题意得nxxnn21,即nxxnn21,(nN)①所以又有)1(212nxxnn.②由②①得：22nnxx,　所以nnxx2是常数．　　　　　　　６分由135246xxxxxx,,,;,,,都是等差数列.12xa0a1x2a(),，那么得22)1(2112akkxxk,akkakxxk2)1(22)1(222.(kN)８分故1((nnanxnan为奇数）为偶数）.　　1０分(3)提出问题①：若等腰三角形1nnnABA中，是否有直角三角形，若有，求出实数a提出问题②：若等腰三角形1nnnABA中，是否有正三角形，若有，求出实数a解：问题①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1１分当n为奇数时,)0,1(),0,1(1anAanAnn,所以);1(21aAAnn当n为偶数时,),0,(),0,(1anAanAnn所以;21aAAnn　　　　作xCBnn轴,垂足为,nC则nnnBC4,要使等腰三角形1nnnABA为直角三角形,必须且只须：nnnnCBAA21.　　　　　　　　　　　　１３分当n为奇数时,有n21a24(),即na14①31n1an3a44,;,当时当时，当5n,a0不合题意.15分当n为偶数时,有n2a24，na4,同理可求得1n2a2当时当n4时,a0不合题意.　　　　　　　　　　　　　　　　　　1７分综上所述,使等腰三角形1nnnABA中，有直角三角形,a的值为34或14或12.1８分解：问题②　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1１分当n为奇数时,)0,1(),0,1(1anAanAnn,所以);1(21aAAnn当n为偶数时,),0,(),0,(1anAanAnn所以;21aAAnn　　　　作xCBnn轴,垂足为,nC则nnnBC4,要使等腰三角形1nnnABA为正三角形,必须且只须：nnnnAABC123.　　　　　　　　　　　　１３分当n为奇数时,有2n21a43(),即3a1n12①3353n1a1n3a1n5a112412,;,;,当时当时时，当n7时，.a0不合题意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15分当n为偶数时,有2n2a43，3na12,同理可求得3n2a6当时.3n4a3当时；3n6a2当时；当n8时，a0不合题意．1７分综上所述,使等腰三角形1nnnABA中，有正三角形，a的值为3353a1a1a112412;;；3a6；3a3　；3a21８分6、（2009广州一模）已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2－2nx+bn=0(nN∈*)的两根，且a1=1.(1)求证：数列{an－13×2n}是等比数列；(2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意nN∈*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)(1)证法1：∵an，an+1是关于x的方程x2－2nx+bn=0(n∈N*)的两根，∴nnn+1nnn+1a+a=2b=aa……2分由an+an+1=2n，得n+1nn+1n11a2(a2)33，故数列nn1{a2}3是首项为121a33，公比为－1的等比数列.……4分证法2：∵an，an+1是关于x的方程x2－2nx+bn=0(n∈N*)的两根，∴nnn+1nnn+1a+a=2b=aa……2分∵n+1nn+1nn+1nnnnnnnn111a22a2(a2)3331111a2a2a2333，故数列nn1{a2}3是首项为121a33，公比为－1的等比数列.……4分(2)解：由(1)得nnn11a2(1)33，即nnn1a[2(1)]3，∴nnn+1n+1nnn+11b=aa[2(1)][2(1)]92n+1n1[2(2)1]9……6分∴Sn=a1+a2+a3+…+an=13[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+(－1)2+…+(－1)n]n2n+11(1)1[22]32，……8分要使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，即n2n+1n2n+11(1)1[2(2)1][22]0(*)932对任意n∈N*都成立.①当n为正奇数时，由(*)式得2n+1n2n+11[221][21]093，即n+1nn+11λ(21)(21)(21)093，∵2n+1－1>0，∴n1λ<(21)3对任意正奇数n都成立.当且仅当n=1时，n1(21)3有最小值1，∴λ<1.……10分①当n为正奇数时，由(*)式得2n+1n2n+11[221][21]093，即n+1nn+11λ(21)(21)(21)093，∵2n+1－1>0，∴n1λ<(21)3对任意正奇数n都成立.当且仅当n=1时，n1(21)3有最小值1，∴λ<1.……10分②当n为正偶数时，由(*)式得2n+1n2n+11[221][22]093，即n+1nn12λ(21)(21)(21)093，∵2n－1>0，∴n+11λ<(21)6对任意正偶数n都成立.当且仅当n=2时，n+11(21)6有最小值1.5，∴λ<1.5.……12分综上所述，存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是(－∞，1).……14分7、（2009宣威六中第一次月考）已知数列na满足212nnnaaanN，且101a（1）用数学归纳法证明：01na；（2）若lg1nnba，且1910a，求无穷数列1nb所有项的和。解：8、（2009广东三校一模）2a,5a是方程2x02712x的两根,数列nb的前n项和为nT,且nT211nbNn(1)求数列na,nb的通项公式;(2)记nc=nanb,求数列nc的前n项和nS.解：(1)由27,125252aaaa.且0d得9,352aa2分2325aad,11aNnnan124分在nnbT211中,令,1n得.321b当2n时,Tn=,211nb11211nnbT,两式相减得nnnbbb21211,2311nbbnn6分Nnbnnn3231321.8分(2)nnnnnc3243212,9分nnnS312353331232,132312332333123nnnnnS,10分132312313131231232nnnnS=21131231131191231nnn=11344343123131312nnnnn,13分nnnS322214分9、（2009江门一模）已知等差数列na和正项等比数列nb，111ab，233ba．⑴求na、nb；⑵对Nn，试比较na、nb的大小；⑶设nb的前n项和为nS，是否存在常数p、c，使)(log2cSpann恒成立？若存在，求p、c的值；若不存在，说明理由．解：⑴由daa)13(13，得21d-------1分由213qbb且0q得2q-------2分所以21)1(1ndnaan，21112nnnqbb-------4分⑵显然1n，3时，nnba；2n时，232a，22b，22ba-------5分3n时，212)11(2)1(2)(22222nnnabnnnn21223210nnCCCCnnnn-------6分0]13)2([21nnn-------7分因为na、0nb，所以3n时，nnba-------8分⑶)12)(12(1)1(21nnnqqbS-------9分，)(log2cSpann恒成立，则有)221(log2)1(log122cpcp-------11分，解得12c，)22(log2p-------12分Nn，)]12()12)(12[(log)22(log)(log2222nncSpnnnan21)22(log]2)12)(22[(log2222-------13分所以，当)22(log2p，12c时，)(log2cSpann恒成立-------14分10、（2009汕头一模）在等比数列｛an｝中，an＞0(nN＊），公比q(0,1)，且a1a5+2a3a5+a2a8＝25，a3与as的等比中项为2。（1)求数列｛an｝的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列｛bn｝的前n项和为Sn当1212nSSSn最大时，求n的值。解：（1）因为a1a5+2a3a5+a2a8＝25，所以，23a+2a3a5+25a＝25又an＞o，…a3＋a5＝5，…………………………2分又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4而q（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，12q，a1＝16，所以，1511622nnna…………………………6分（2）bn＝log2an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列。。。。。。。。。9分所以，(9),2nnnS92nSnn所以，当n≤8时，nSn＞0，当n＝9时，nSn＝0，n＞9时，nSn＜0，当n＝8或9时，1212nSSSn最大。　　…………………………12分11、（2009深圳一模文）设数列na的前n项和为nS，11a，且对任意正整数n,点nnSa,1在直线022yx上.(Ⅰ)求数列na的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数，使得数列nnnS2为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.（Ⅲ）求证：21)1)(1(26111nkkkkaa.解：(Ⅰ)由题意可得：.0221nnSa①2n时,.0221nnSa②……………………1分①─②得22102211naaaaannnnn，2122,12121aaaa……………………3分na是首项为1，公比为21的等比数列，.211nna………………4分（Ⅱ）解法一:.2122112111nnnS………………5分若nnS2为等差数列，则3322123,22,2SSS成等差数列,………………6分2,82547231492328252349312SSS得.2………………8分又2时，22222nnSnn，显然22n成等差数列，故存在实数2，使得数列nnnS2成等差数列.………………9分解法二:.2122112111nnnS………………5分.2122221221nnnnnnnnS……………7分欲使nnnS2成等差数列,只须02即2便可.……………8分故存在实数2，使得数列nnnS2成等差数列.………………9分（Ⅲ）)1)(1(11kkaa(21)121)(121(11kkk1211k)12111k……10分nkknkktkkaa1111211()1)(1(2)12111k…………11分)1111211()12111211(21211(t)12111k1111211k21122kk…………12分又函数122xxy1211x在),1[x上为增函数，112212211kk，…………13分211211222132kk，21)1)(1(26111nkkkkaa．………14分2009年联考题一、选择题1.(北京市朝阳区2009年4月高三一模理)各项均不为零的等差数列}{na中，若2110(,2)nnnaaannN，则2009S等于（）A．0B．2C．2009D．4018答案D2.(北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理)若数列{}na是公比为4的等比数列，且12a=，则数列2{log}na是（）A.公差为2的等差数列B.公差为lg2的等差数列C.公比为2的等比数列D.公比为lg2的等比数列答案A3.（2009福州三中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若714S，则35aa的值为（）A．2B．4C．7D．8答案B4.（2009厦门一中文）在等差数列na中，284aa,则其前9项的和S9等于（）A．18B27C36D9答案A5.（2009长沙一中期末）各项不为零的等差数列}{na中，02211273aaa，则7a的值为（）A．0B．4C．04或D．2答案B6.（2009宜春）在等差数列}{na中，39741aaa，27963aaa，则数列}{na的前9项之和9S等于（）A.66B．99C．144D.．297答案B7.（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟）设等差数列}{na的前n项和为1413121184,20,8,aaaaSSSn则若（）A．18B．17C．16D．15答案：C.二、填空题8.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列}{na的公差0d，且931,,aaa成等比数列，则1042931aaaaaa的值为．答案13169.（2009福州八中）已知数列1,,nnnann为奇数为偶数则1100aa＿＿＿＿,123499100aaaaaa＿＿＿＿答案100．5000；10.（2009宁乡一中第三次月考）11、等差数列{}na中，12981aaa且2310171aaa，则公差d=答案1011.（2009南京一模）已知等比数列na的各项均为正数，若31a，前三项的和为21，则654aaa答案16812.（2009上海九校联考）已知数列na的前n项和为nS，若21nnS，则8a.答案128三、解答题13.（2009龙岩一中）设正整数数列{}na满足：122,6aa，当2n时，有21111||2nnnnaaaa．（I）求3a、4a的值；（Ⅱ）求数列{}na的通项；(Ⅲ)记2222123123nnnTaaaa，证明，对任意*nN，94nT.解（Ⅰ）2n时，221311||2aaaa，由已知122,6aa，得3|362|1a，因为3a为正整数，所以318a，同理544a………………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：123nna。…………………………………………3分证明：①1,2n时，命题成立；②假设当1kn与nk时成立，即123kka，2123kka。……………4分于是21111||2kkkkaaaa，整理得：2111||2kkkaaa，……………………………5分由归纳假设得：11111|23|2323222kkkkkaa，…………………6分因为1ka为正整数，所以123kka，即当1nk时命题仍成立。综上：由知①②知对于*nN，有123nna成立．………………………………7分(Ⅲ)证明：由222212321333nnnT③得222221212(1)33333nnnnnT④③式减④式得22143521133333nnnnnT⑤…………………9分22114132321933333nnnnnnnT⑥⑤式减⑥式得222118222(1)1933333nnnnnnT…………………11分2222211111111(1)(1)312(1)121333333313nnnnnnnnnn22111(1)13333nnnnn212(36)223nnn…………13分则94nT．……………………………………………………14分14.（2009常德期末）已知数列na的前n项和为11,4nSa且1112nnnSSa，数列nb满足11194b且13nnbbn(2)nnN且．（１）求na的通项公式；（２）求证：数列nnba为等比数列;（３）求nb前n项和的最小值．解：(1)由112221nnnSSa得1221nnaa,112nnaa……2分∴111(1)24naandn……………………………………4分(2)∵13nnbbn,∴11133nnbbn,∴1111111111113()3324364324nnnnnbabnnbnbn;11111113(1)2424nnnnbabnbn∴由上面两式得1113nnnnbaba,又1111913044ba∴数列nnba是以-30为首项,13为公比的等比数列.…………………8分(3)由(2)得1130()3nnnba，∴11111130()30()3243nnnnban12111111130()(1)30()243243nnnnbbnn=221111130()(1)20()023323nn，∴nb是递增数列………11分当n=1时,11194b<0；当n=2时,23104b<0；当n=3时,351043b<0；当n=4时,471049b>0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且31101(135)3010414312S…………………………13分2007—2008年联考题一、选择题1.（上海市部分重点中学高三第一次联考）等差数列na的前n项和)3,2,1(nSn当首项1a和公差d变化时，若1185aaa是一个定值，则下列各数中为定值的是―――――――――（）A、16SB.S15C、17SD、18S答案B2.(山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试)各项都是正数的等比数列}{na的公比1q，且132,21,aaa成等差数列，则5443aaaa的值为（）A．251B．215C.215D．215或215答案C3.(湖南省2008届十二校联考第一次考试)在等比数列101810275,5,6,}{aaaaaaan则中（）A．2332或B．32C．23D．2332或答案D4.(200８年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）)正项等比数列na满足142aa,133S,nnab3log,则数列nb的前10项和是A．65　　B．－65　C．25　　D.－25答案D5..(上海市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试（二）)等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312aan，则该数列的公差为（）A．3B－3C．－2D．－1答案B二、填空题6.（江苏省省阜中2008届高三第三次调研考试数学）在等差数列na中，11101,aa若它的前n项和nS有最大值，则使nS取得最小正数的n.答案197.（2007—2008学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷）nS为等差数列{}na的前n项和，若24121nnanan，则2nnSS=．答案4解析：由24121nnanan，即4121nnandnan，得121,22nndada．21()22nnnaandS，22(2)42nnndSS．故2nnSS=4．8.（山东省潍坊市2008年高三教学质量检测）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若61420aa，则S19=______________．答案1909.(江西省临川一中2008届高三模拟试题)等差数列有如下性质，若数列}{na是等差数列，则当}{,21nnnbnaaab数列时也是等差数列；类比上述性质，相应地}{nc是正项等比数列，当数列nd时，数列}{nd也是等比数列。答案nnCCC21三、解答题10..（2008江苏省阜中2008届高三第三次调研考试试题）设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{}na的集合：①212nnnaaa；②*.,naMnN其中M是与n无关的常数．(1)若{na}是等差数列，nS是其前n项的和，3a=4，3S=18，试探究{}nS与集合W之间的关系(2)设数{nb}的通项为52,{}nnnbnbW且，求M的取值范围；(4分)解(1)设等差数列{}na的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d=－2，所以21(1)92nnnSnadnn，(2分)，22111()()22nnnnnnnSSSSSSS211,22nnaad得21,2nnnSSS适合条件①.(4分)；又229819()24nSnnn，所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，适合条件②，(3分)，综上，{nS}W.(1分)(2)因为115(1)25252nnnnnbbnn，(2分)，所以当n≥3时，10nnbb，此时数列{bn}单调递减；(1分)当n=1，2时，10nnbb，即b1＜b2＜b3，因此数列{bn}中的最大项是b3=7，所以M≥7．(3分)11.(山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试)已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1qaan，设*)(log3241Nnabnn，数列nnnnbacc满足}{。（1）求证：}{nb是等差数列；（2）求数列}{nc的前n项和Sn；（3）若对1412mmcn一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）由题意知，*)()41(Nnann……………………1分12log3,2log3141141ababnn3log3log3log3log341141411411qaaaabbnnnnnn∴数列3,1}{1dbbn公差是首项的等差数列……………………4分（2）由（1）知，*)(23,)41(Nnnbannn*)(,)41()23(Nnncnn…………………………5分,)41()23()41)53()41(7)41(4411132nnnnnS于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141nnnnnS两式相减得132)41()23(])41()41()41[(34143nnnnS.)41()23(211nn*)()41(3812321NnnSnn……………………8分（3）nnnnnncc)41()23()41()13(11*)(,)41()1(91Nnnn∴当n=1时，4112cc当nnncccccccn43211,,2即时∴当n=1时，nc取最大值是41又恒成立对一切正整数nmmcn1412411412mm即510542mmmm或得……………………12分12.(武汉市2008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题)设数列{}na的前n项和2(1)(241)1nnsnn，nNe。（1）求数列{}na的通项公式na；(2)记(1)nnnba，求数列nb前n项和nT解：（1）数列na的前n项之和2(1)(241)1nnsnn在n=1时，111(1)(241)18as在2n时，1nnnass212(1)(241)(1)[2(1)4(1)1]nnnnnn(1)4(1)nnn而n=1时，18a满足(1)4(1)nnann故所求数列na通项(1)4(1)nnann………………………………（7分）（2）∵(1)1111()4(1)41nnnbannnn因此数列nb的前n项和114(1))411nnTnn………………………（12分）13.(2007届岳阳市一中高三数学能力题训练汇编)已知点nnnbaP,都在直线22:xyl上，1P为直线l与x轴的交点，数列na成等差数列，公差为1.　（Nn）(1)求数列na，nb的通项公式；(2)若)()()(为偶数为奇数nbnanfnn，问是否存在Nk，使得225kfkf成立；若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.(3)求证：2211PP2311PP……+52121nPP(n2,Nn)解(1)22,2,0,11nbnaPnn(2))(22)(2)(为偶数为奇数nnnnnf假设存在符合条件的:k(ⅰ)若k为偶数，则5k为奇数，有22)(,3)5(kkfkkf如果2)(2)5(kfkf，则3643kkk与k为偶数矛盾.不符舍去；(ⅱ)若k为奇数，则5k为偶数，有.2)(,82)5(kkfkkf2)2(282kk这样的k也不存在.综上所述：不存在符合条件的k.(3))0,1(,22,21PnnPn)1(51nPPn)2(n22221231221113121151111nPPPPPPn)1(11151121321211151nnn52)1(1251n