2017年高考数学知识方法专题9《系列4选讲第42练 不等式选讲》

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第42练　不等式选讲[题型分析·高考展望]　本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.体验高考1.(2016·课标全国甲)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.(1)解　f(x)＝当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1，所以－1a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|0)⇔－ay.求证：2x＋≥2y＋3.(2)已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.证明　(1)因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，所以2x＋≥2y＋3.(2)因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，从而3|y|<＋＝，所以|y|<.点评　(1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论.关键是代数式的变形能力.(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧.变式训练2　(1)若a，b∈R，求证：≤＋.(2)已知a，b，c均为正数，a＋b＝1，求证：＋＋≥1.证明　(1)当|a＋b|＝0时，不等式显然成立.当|a＋b|≠0时，由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥，所以＝≤＝≤＋.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1.题型三　柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立.(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.例3　(2015·福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值.解　(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立.又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立.故a2＋b2＋c2的最小值为.点评　(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.变式训练3　已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.(1)解　因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明　由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.高考题型精练1.如果关于x的不等式|x－3|－|x－4|－1时，不等式的解集不是空集.即实数a的取值范围是(－1，＋∞).2.设x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值.解　∵x>0，y>0，∴原不等式可化为－λ≤(＋)·(x＋y)＝2＋＋.∵2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时等号成立.∴[(＋)(x＋y)]min＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.3.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.解　设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝当x<－2时，y＝－3x－1>5；当－2≤x<时，y＝－x＋3>；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，].4.设不等式|x－2|1时，由2x<4，得1|x＋1|成立，求实数x的取值范围.解　由柯西不等式知[12＋()2＋()2][a2＋(b)2＋(c)2]≥(1·a＋·b＋·c)2即6×(a2＋2b2＋3c2)≥(a＋2b＋3c)2.又∵a2＋2b2＋3c2＝6，∴6×6≥(a＋2b＋3c)2，∴－6≤a＋2b＋3c≤6，∵存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立.∴|x＋1|<6，∴－70.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.解　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}.(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组或即或因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}.由题设可得－＝－1，故a＝2.8.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).